羊车问题的讨论羊车问题的讨论

一个非常经典的问题，适合测试思维～

车羊问题（Car and Goats problem）又叫蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem)或三门问题。这个问题来源于美国电视娱乐节目Let’s Make a Deal,问题的名字则来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。问题是这样的：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。明确的限制条件如下：参赛者会被问是否保持他的原来选择,还是转而选择剩下的那一道那么换与不换，哪种策略答对的机率高呢。
这个问题很有意思，第一次是在一篇博客中看到的，后来看到有同学在高盛的面经中也提到了同样的问题（选某一颜色的球）。这个问题和同学讨论了很多次，但是也没有达成一致，甚至有时候越深入想，越迷惑。换不换不都是1/2吗？这是最困惑的地方。。。
思路一：逆向思考：
如果主持人问你换不换的时候，你坚决不换，你参加了1000次，主持人问了你1000次，你都说我不换。那好，主持人给你的提示对你没有影响，也就是说，主持人开剩下的两道门之一，对你没有任何影响。什么意思呢？就是你做的事情就是三选一，那你1000次参加，大概你能中奖333次。不换的结果就是中奖概率是三分之一。
所以你换的话，就是2/3的概率中奖。这是从反面来推测的。
思路二，直接法，等价推转换。我觉得这种理解最好。。
还是假设你参加了1000次这样的活动吧，我们把问题这样转换以下会变得非常有意思。你选了三张门中的一个，现在主持人问你：给你一次机会，你可以放弃你手里的一张门，而选我这边的两扇门（两扇门都归你，后面有可能有一车一羊，或两只羊），不过你得把你这两扇门后的一只羊给我，你换不换？
换，当然换，每次可以选两张门，这样概率是多大，当然是2/3了。
思路三什么情况下1/2，为什么有人觉得1/2，为什么这里不是1/2？？

很多犹豫的人是在想，为什么不是1/2？因为排除了一个羊了，剩下的两个选择应该是1/2。那我们讨论以下为什么不是1/2，怎样才会是1/2呢？
【羊车问题的讨论】当你选了之后，主持人排除了一张门（比如说3号，你选的是1号），那你现在在1号和2号中间做选择。如果你不知道换不换，你决定投硬币决定（也即重新随机选择），正面你选1，反面你选2. 那这种情况下，你中车的概率就是1/2.可是如果说你不投硬币，而是每次（重复1000次）都不换，那跟你三选一有什么分别呢？那么你中奖的概率是1/3.

思路四：列等概率表
这里等概率非常的关键。
假设门的号码是1，2，3，车出现在门后都是等概率的1/3. 选手第一次选择是等概率的。主持人是见机行事的，因为他依据选手的选择总能在剩下的门后面选一张有羊的。这里不列主持人的提示情况，一共列出3（选手的选择）X 2（换与不换） X 3（车的分布）= 18 （种情况）
数数换的情况中奖的概率2/3.。。不换1/3.。。。

表格中应该是18种情况，共36次实验（考虑主持人提示的情况，即每行是两次）

第一次选择	车的分布	换与不换	最终选择	是否中奖
1	1	是	2/3	否
2	1	是	1	是
3	1	是	1	是
1	1	否	1	是
2	1	否	2	否
3	1	否	3	否
1	2	是	2	是
2	2	是	1/3	否
3	2	是	2	是
1	2	否	1	否
2	2	否	2	是
3	2	否	3	否
1	3	是	3	是
2	3	是	3	是
3	3	是	1/2	否
1	3	否	1	否
2	3	否	2	否
3	3	否	3	是

先想到了这些～这些是我个人的一些思考，在数学上有的地方是不严密的。

后续：
有很多人留言说，是1/2，我上面的分析不严密。他们说的并无道理，但我还是始终同意2/3的答案。实际上这个问题我和我同学就一直没有清楚的达成一致，而且当时这个问题在美国电视播出后甚至有博士发信反驳换是两倍概率的这个答案。这里我引用一段matrix67的博客：（原文在这里）
一个叫S.K.Stein的人写过一本书，名字叫Strength in Numbers。书里面谈到数学家们如何一步步解决问题的时候引用了这个Monty Hall Dilemma问题。他在书中这样说道：If, after thinking some more about the question, you still are not sure about the answer and are not ready to explain it, then do the following. (Keep in mind that just citing experimental data is not an explanation. The data may convince you that something is true, but they do not explain it.)
Get one more canister and perform a similar experiment, using four canisters instead of three. Put a wad of paper in one canister. After your friend chooses a canister, look in the remaining three and show the friend two empty canisters. The friend then faces a choice between the two other canisters. Carry out the same experiments as before. Think over the results you get. What do they suggest? Do you see a way to explain what happens?
Performing these experiments not only gives you some clues, it also slows you down from the common frenzy of everyday life, so you can focus on just one thing for a period of time.
If you still do not see how to explain what is going on, then use ten can- isters. Put the wad in one of them. After your friend chooses a canister, look in the other nine. Show your friend eight empty canisters out of those nine and remove all eight. Again that leaves just two canisters. Conduct a similar experiment.
I am confident that you will solve this problem, so confident that I do not include the answer anywhere in the book, not even in fine print upside down hidden in the back matter. You mill probably, along the way, calculate the fraction of times that switching will pick the car and the fraction of times that not switching will pick the car. Using these fractions, you will be able to explain the brainteaser completely. Then you will have to admit that you can think mathematically. You just needed the opportunity.
简单地说，Stein想表达这样一个意思。他建议那些还想不到Monty Hall Dilemma问题的答案的人别忙用数学方法去解，先亲自做几次试验来进行一些感性的认识。叫一个朋友当游戏里的主持人，在三个罐子中的其中一个里放一个东西。多玩几次，用心体会。如果做了试验还没有启发，那么他提出了这样一个非常具有启发性的试验的变形：规则不变，只是把三个罐子改成四个罐子。你的朋友会在你选择了一个罐子后打开另外两个空的罐子，再问你是否换一个。如果还没有一点启示，干脆把四个罐子变成十个。如果你真这么做了还没有一点想法那你就彻底地傻了。想想看，假如游戏中三个门变成了十个门，随便选一个选中车的机会将更渺茫。在主持人打开了另外八扇有羊的门后，你不换你肯定傻了。要是是我，我肯定会毫不犹豫要求换成另一个门。是啊，随着羊一只又一只的跑出来，我肯定会越来越激动，心想，那剩下的那个门里肯定是车了。这里有一个很基本的想法：我开先如果选的羊，换了一下就变成车了；如果开先选的是车，换一个门就变成羊了。既然一开始选的多半是羊，我为什么不换呢？
根据这个思想，我们得到：在Monty Hall Dilemma问题中，第一次选中车的概率是1/3，显然车在另一扇门的概率是2/3。因此，我换门将有2/3的几率拿到车，而不换则只有1/3的概率拿到车。
这个问题到这里本来应该结束了，但还有一点疑问：为什么主持人打开一扇羊门会改变选择的几率？其实道理很简单，几率本身是没有变的，只是因为主持人在打开门时就有一个选择。这导致了可能的情况减少。