幂迭代和逆幂迭代求最大最小特征值幂迭代和逆幂迭代求最大最小

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幂迭代算法：

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逆幂迭代算法：

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实际在使用中A可以先进行LU分解

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无论是幂迭代，还是逆幂迭代，只能求出最大和最小特征值与对应的特征向量。
具体问题

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python实现

1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 eigenval1_ = [] 5 eigenval2_ = [] 6 eigenvec1_ = [] 7 eigenvec2_ = [] 8 cnt_ = [] 9 x0 = np.array([1 / np.sqrt(2), 1 / np.sqrt(2)]) 10 x0.resize((2, 1)) 11 dis = 10 ** -12 12 13 14 def normalized_power_iteration(A): 15v0 = x0 16distance = 1 17times = 0.0 18 19while distance > dis: 20v1 = np.dot(A, v0) 21v1 = v1 / np.linalg.norm(v1) 22distance = np.linalg.norm(v1 - v0) 23v0 = v1 24times += 1.0 25eig = np.linalg.norm(np.dot(A, v1)) / np.linalg.norm(v1) 26return (v1, eig, times) 27 28 29 def normalized_inverse_power_iteration(A): 30# 2x2矩阵进行LU分解，在这里进行手动的LU分解求逆，因为题目找那个说了是一个2x2的矩阵，实际上当矩阵的维数比较高的时候，应该用LU分解然后解线性方程组来求解。 31L = np.array([1, 0, A[1, 0] / A[0, 0], 1]) 32L.resize((2, 2)) 33LI = np.array([1, 0, -L[1, 0], 1]) 34LI.resize((2, 2)) 35 36U = np.array([A[0, 0], A[0, 1], 0, A[1, 1] - A[0, 1] * A[1, 0] / A[0, 0]]) 37U.resize((2, 2)) 38UI = np.array([1 / U[0, 0], -U[0, 1] / (U[0, 0] * U[1, 1]), 0, 1 / U[1, 1]]) 39UI.resize((2, 2)) 40lu = np.dot(UI, LI) 41 42v0 = x0 43distance = 1 44times = 0 45 46while distance > dis: 47u1 = np.dot(lu, v0) 48m1 = np.linalg.norm(u1) 49v1 = u1 / m1 50distance = np.linalg.norm(v1 - v0) 51v0 = v1 52times += 1 53eig = np.linalg.norm(np.dot(lu, v1)) / np.linalg.norm(v1) 54return (v1, 1 / eig, times) 55 56 57 for i in np.arange(0, n): 58(vec, val, round1) = normalized_power_iteration(As[i, :, :]) 59eigenval1_.append(val) 60eigenvec1_.append(vec[0, 0]) 61eigenvec1_.append(vec[1, 0]) 62cnt_.append(round1) 63 64(vec, val, round2) = normalized_inverse_power_iteration(As[i, :, :]) 65eigenvec2_.append(vec[0, 0]) 66eigenvec2_.append(vec[1, 0]) 67eigenval2_.append(val) 68 69 eigenval1 = np.array(eigenval1_) 70 eigenvec1 = np.array(eigenvec1_) 71 eigenvec1.resize((n, 2)) 72 73 cnt = np.array(cnt_) 74 75 eigenval2 = np.array(eigenval2_) 76 eigenvec2 = np.array(eigenvec2_) 77 eigenvec2.resize((n, 2)) 78 79 plt.xlabel("bilv") 80 plt.ylabel("round times") 81 plt.title("result") 82 plt.show()

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