知识点八（二分查找（下））数据结构与算法从入门到实战

前言通过 IP 地址来查找 IP 归属地的功能，不知道大家有没有用过？没用过也没关系，现在可以打开百度，在搜索框里随便输一个 IP 地址，就会看到它的归属地。

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这个功能并不复杂，它是通过维护一个很大的 IP 地址库来实现的。地址库中包括 IP 地址范围和归属地的对应关系。
当我们想要查询 202.122.110.13 这个 IP 地址的归属地时，我们就在地址库中搜索，发现这个 IP 地址落在 [202.122.110.0，202.122.110.255] 这个地址范围内，那我们就可以将这个 IP 地址范围对应的归属地“香港特别行政区”显示给用户了。
老规矩，今天给出的开篇问题是：在庞大的地址库中逐一比对 IP 地址所在的区间，是非常耗时的。假设我们有 12 万条这样的 IP 区间与归属地的对应关系，如何快速定位出一个 IP 地址的归属地呢？
二分查找的变形问题 “十个二分九个错”。二分查找虽然原理极其简单，但是想要写出没有 Bug 的二分查找并不容易。唐纳德·克努特（Donald E.Knuth）在《计算机程序设计艺术》的第 3 卷《排序和查找》中说到：“尽管第一个二分查找算法于 1946 年出现，然而第一个完全正确的二分查找算法实现直到 1962 年才出现。”
上一节讲的只是二分查找中最简单的一种情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没那么好写了。二分查找的变形问题很多，下面只选择几个典型的来讲解，其他的可以借助本文讲的思路自己来分析。

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需要特别说明一点，为了简化讲解，下面的内容都以数据是从小到大排列为前提的，如果要处理的数据是从大到小排列的，解决思路也是一样的。
变体一：查找第一个值等于给定值的元素最简单的一种二分查找的情况，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗？
比如下面这样一个有序数组，其中，a[5]，a[6]，a[7] 的值都等于 8，是重复的数据。我们希望查找第一个等于 8 的数据，也就是下标是 5 的元素。

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用上一节的二分查找的代码实现，首先拿 8 与区间的中间值 a[4] 比较，8 比 6 大，于是在下标 5 到 9 之间继续查找。下标 5 和 9 的中间位置是下标 7，a[7] 正好等于 8，所以代码就返回了。尽管 a[7] 也等于 8，但它并不是我们想要找的第一个等于 8 的元素，因为第一个值等于 8 的元素是数组下标为 5 的元素。所以，上一节讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。
所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下上一节的代码。100 个人写二分查找就会有 100 种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid = low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] >= value) { high = mid - 1; } else { low = mid + 1; } }if (low < n && a[low]==value) return low; else return -1; }

看完这个实现之后，是不是觉得很不好理解？如果只是死记硬背这个写法，过不了几天，你就会全都忘光，再让你写，90% 的可能会写错。所以，下面换了一种更容易理解的实现方法：

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid =low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] > value) { high = mid - 1; } else if (a[mid] < value) { low = mid + 1; } else { if ((mid == 0) || (a[mid - 1] != value)) return mid; else high = mid - 1; } } return -1; }

稍微解释一下这段代码。a[mid] 跟要查找的 value 的大小关系有三种情况：大于、小于、等于。对于 a[mid]>value 的情况，我们需要更新 high= mid-1；对于 a[mid] 【知识点八（二分查找（下））】如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当 a[mid] 等于要查找的值时，a[mid] 就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当 a[mid] 等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个 a[mid] 是不是第一个值等于给定值的元素。
重点看下第 11 行代码。如果 mid 等于 0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的；如果 mid 不等于 0，但 a[mid] 的前一个元素 a[mid-1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
再看下第 12 行代码。如果经过检查之后发现 a[mid] 前面的一个元素 a[mid-1] 也等于 value，那说明此时的 a[mid] 肯定不是我们要查找的第一个值等于给定值的元素。那我们就更新 high=mid-1，因为要找的元素肯定出现在 [low, mid-1] 之间。
对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解？实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写，主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于大多数做工程开发的人来说，代码易读懂、没 Bug，其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。
变体二：查找最后一个值等于给定值的元素前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢？
了解了前面的写法后，那这个问题应该很轻松就能解决。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid =low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] > value) { high = mid - 1; } else if (a[mid] < value) { low = mid + 1; } else { if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] != value)) return mid; else low = mid + 1; } } return -1; }

还是重点看第 11 行代码。如果 a[mid] 这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的；如果 a[mid] 的后一个元素 a[mid+1] 不等于 value，那也说明 a[mid] 就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
如果我们经过检查之后，发现 a[mid] 后面的一个元素 a[mid+1] 也等于 value，那说明当前的这个 a[mid] 并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新 low=mid+1，因为要找的元素肯定出现在 [mid+1, high] 之间。
变体三：查找第一个大于等于给定值的元素再来看另外一类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列：3，4，6，7，10。如果查找第一个大于等于 5 的元素，那就是 6。
实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid =low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] >= value) { if ((mid == 0) || (a[mid - 1] < value)) return mid; else high = mid - 1; } else { low = mid + 1; } } return -1; }

如果 a[mid] 小于要查找的值 value，那要查找的值肯定在 [mid+1, high] 之间，所以，我们更新 low=mid+1。这段逻辑对应的代码是第 10 行。
对于 a[mid] 大于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid] 是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果 a[mid] 前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值 value，那 a[mid] 就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 7 行。
如果 a[mid-1] 也大于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在 [low, mid-1] 之间，所以，我们将 high 更新为 mid-1。这段逻辑对应的代码是第 8 行。
变体四：查找最后一个小于等于给定值的元素最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据：3，5，6，8，9，10。最后一个小于等于 7 的元素就是 6。是不是有点类似上面那一种？实际上，实现思路也是一样的。

public int bsearch(int[] a, int n, int value) { int low = 0; int high = n - 1; while (low <= high) { int mid =low + ((high - low) >> 1); if (a[mid] > value) { high = mid - 1; } else { if ((mid == n - 1) || (a[mid + 1] > value)) return mid; else low = mid + 1; } } return -1; }

如果 a[mid] 大于要查找的值 value，那要查找的值肯定在 [low，mid-1] 之间，所以，我们更新 high=mid-1。这段逻辑对应的代码是第 7 行。
对于 a[mid] 小于等于给定值 value 的情况，我们要先看下这个 a[mid] 是不是我们要找的最后一个值小于等于给定值的元素。如果 a[mid] 后面已经没有元素，或者后面一个元素大于要查找的值 value，那 a[mid] 就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是第 9 行。
如果 a[mid+1] 也小于等于要查找的值 value，那说明要查找的元素在 [mid+1，high] 之间，所以，我们将 low 更新为 mid+1。这段逻辑对应的代码是第 10 行。
解答开篇：如何快速定位出一个 IP 地址的归属地？现在这个问题应该很简单了。如果 IP 区间与归属地的对应关系不经常更新，我们可以先预处理这 12 万条数据，让其按照起始 IP 从小到大排序。如何来排序呢？我们知道，IP 地址可以转化为 32 位的整型数。所以，我们可以将起始地址，按照对应的整型值的大小关系，从小到大进行排序。
然后，这个问题就可以转化为刚才的第四种变形问题“在有序数组中，查找最后一个小于等于某个给定值的元素”了。当我们要查询某个 IP地址的归属地时，我们可以先通过二分查找，找到最后一个起始 IP 小于等于这个 IP 的 IP 区间，然后，检查这个 IP 是否在这个 IP 区间内，如果在，我们就取出对应的归属地显示；如果不在，就返回未查找到。
小结一、四种常见的二分查找变形问题
1.查找第一个值等于给定值的元素
2.查找最后一个值等于给定值的元素
3.查找第一个大于等于给定值的元素
4.查找最后一个小于等于给定值的元素
二、二分查找适用性分析
1.凡是能用二分查找解决的问题，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树，即便二分查找在内存上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。
2.实际上，求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更加明显。比如上面这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表、二叉树，就比较难实现了。
三、易错细节
变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生 Bug，这些容易出错的细节有：终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。
四、关于二叉查找几个必知必会的代码实现
1.实现一个有序数组的二分查找算法
2.实现模糊二分查找算法（比如大于等于给定值的第一个元素）
五、二分查找的学习框架图