C语言求两个正整数的最大公约数示例代码 C语言求两个正整数的最大公约

前言
1.穷举法
2.欧几里得算法（辗转相除法）
3.递归方法
附：相减法
总结

前言两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）是能够整除这两个整数的最大整数。两个正整数的最大公约数的求法有多种解答，本文就三种方法做详细介绍：穷举法、欧几里得算法（辗转相除法）、递归方法。
我们从一道问题来引入：编写计算最大公约数的函数Gcd()，在主函数中调用该函数计算并输出从键盘任意输入的最大公约数。

1.穷举法根据最大公约数的定义，我们可以采用一种最简单的方法——穷举法来编写代码。由于a和b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大，否则一定不能整除它，因此，先找到a和b中的较小者t，然后从t开始逐次减1尝试每种可能，即检验t到1之间的所有整数，第一个满足公约数条件的t，就是a和b的最大公约数。据此我们可编写函数Gcd()如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1int Gcd(int a, int b){int i, t; if (a <=0 || b <= 0)return -1; t = a < b ? a : b; for (i=t; i>0; i--){if (a%i==0 && b%i==0)return i; }return 1; }

这种方法简单暴力，思维量小，但效率较低，且当两个正整数都较大，且最大公约数为1时，循环的次数为较小数的值，可想而知所需时间会很长。

2.欧几里得算法（辗转相除法）下面介绍一种求最大公约数较常用的办法：欧几里得算法（辗转相除法）。
忽略数学原理，我们有如下算法：对正整数a和b，连续进行求余运算，直到余数为0为止，此时非0的除数就是最大公约数。设 r=a mod b 表示a除以b的余数，若 r≠0 ，则将b作为新的a，r作为新的b，重复 a mod b 运算，直到 r=0 为止，此时b为所求的最大公约数。例如，50和15的最大公约数的求解过程可表示为：Gcd(50, 15)=Gcd(15, 5)=Gcd(5, 0)=5。
用这种算法可编写函数Gcd()如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1int Gcd(int a, int b){int r; if (a <= 0 || b <= 0)return -1; do{r = a % b; a = b; b = r; } while (r != 0); return a; }

我们也可以考虑使用递归实现如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1int Gcd(int a, int b){if (a <= 0 || b <= 0)return -1; if (a % b == 0)return b; elsereturn Gcd(b, a % b); }

3.递归方法对于最大公约数，还有3条性质：
性质1 如果 a>b，则a和b与a-b和b的最大公约数相同；
性质2 如果 b>a，则a和b与a和b-a的最大公约数相同；
性质3 如果 a=b，则a和b的最大公约数与a值和b值相同。
对正整数a和b，当 a>b 时，若a中含有与b相同的公约数，则a中去掉b后剩余的部分a-b中也应含有与b相同的公约数，对a-b和b计算公约数就相当于对a和b计算公约数。反复使用最大公约数的3条性质，直到a和b相等为止，这时，a或b就是它们的最大公约数。
这就是所谓的第三种方法：递归方法。虽然此法被称为递归方法，但只是思想方法运用了递归的方法，并不代表只能使用递归实现。我们同样可以通过非递归和递归两种手段编写函数Gcd()。非递归实现如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1int Gcd(int a, int b){if (a <= 0 || b <= 0)return -1; while (a != b){if (a > b)a = a - b; else if (b > a)b = b - a; }return a; }

编写递归函数如下：

//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1int Gcd(int a, int b){if (a <= 0 || b <= 0)return -1; if (a == b)return a; else if (a > b)return Gcd(a-b, b); elsereturn Gcd(a, b-a); }

以上就是三种计算最大公约数的算法，可使用如下主函数来调用函数Gcd()，计算最大公约数：

#include int Gcd(int a, int b); int main(void){int a, b, c; printf("Input a,b:"); scanf("%d,%d", &a, &b); c = Gcd(a,b); if (c != -1)printf("Greatest Common Divisor of %d and %d is %d\n", a, b, c); elseprintf("Input number should be positive!\n"); return 0; }

求两个正整数的最大公约数的过程，实质上是使用最大公约数的定义及性质求解的过程，对此感兴趣的伙伴们可以自己研究相关数学原理与证明。

附：相减法这种方法比较易于理解，原理是先判断两个正整数大小，并将较大数与较小数的差值赋给较大数，循环此步骤直到两数相等，此时得出最大公约数。
代码如下：

#includeint main(){ int m,n; printf("请输入两个正整数:"); scanf("%d %d",&m,&n); printf("%d%和%d的最大公约数是",m,n); while(m!=n) {if(m>n){m=m-n; }else{n=n-m; } } printf("%d",n); return 0; }

参考文献：
苏小红王甜甜赵玲玲范江波车万翔等编著王宇颖主审，C语言程序设计学习指导（第4版），高等教育出版社，P57-60.

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