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[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较

[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较

1 前言
2 Terminal滑模
3 Terminal滑模收敛性能
4 普通滑模收敛性能
5 一些补充
6 参考文献

[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较 【滑模控制浅述|[滑模控制器浅述] （4） Terminal滑模简述及其与普通滑模收敛速度比较】本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解，可以参考：
[滑模控制器浅述] （1）二阶系统的简单滑模控制器设计
1 前言 Terminal滑模（终端滑模）相比于普通滑模的优势就是其“有限时间收敛”（收敛时间有限）的特性，相比于普通滑模的“渐进收敛”（收敛时间为无穷）是一种更强的收敛特性。
本文将从数学和理论的角度比较Terminal滑模的“有限时间收敛”的与普通滑模的“渐进收敛”。
2 Terminal滑模对于二阶系统，选取Terminal滑模面为：
s = e ˙ + β e q / p ?? = 0 s=\dot{e}+\beta {{e}^{{q}/{p}\; }}=0 s=e˙+βeq/p=0其中 e e e为跟踪误差，参数 β > 0 \beta >0 β>0，为奇数 p p p、 q q q，且 p > q p>q p>q。
好了结束了，Terminal滑模就介绍完了，正片简述一下Terminal滑模优点，也就是下面的收敛速度比较。
3 Terminal滑模收敛性能一般的，对于二阶系统，选取Terminal滑模面为：
s = e ˙ + β e q / p ?? = 0 s=\dot{e}+\beta {{e}^{{q}/{p}\; }}=0 s=e˙+βeq/p=0其中 e e e为跟踪误差，参数 β > 0 \beta >0 β>0，为奇数 p p p、 q q q，且 p > q p>q p>q。
解上微分方程：
e ˙ + β e q / p ?? = 0 e ? q / p ?? d e d t = ? β \begin{aligned} & \dot{e}+\beta {{e}^{{q}/{p}\; }}=0 \\ & {{e}^{-{q}/{p}\; }}\frac{de}{dt}=-\beta \end{aligned} ?e˙+βeq/p=0e?q/pdtde?=?β?令 y = e ? q / p ?? y={{e}^{-{q}/{p}\; }} y=e?q/p，则， d y d t = p ? q p e ? q / p ?? d e d t \frac{dy}{dt}=\frac{p-q}{p}{{e}^{-{q}/{p}\; }}\frac{de}{dt} dtdy?=pp?q?e?q/pdtde?，带入上式：
d y d t = ? p ? q p β \frac{dy}{dt}=-\frac{p-q}{p}\beta dtdy?=?pp?q?β积分：
y = ∫ 0 t ( ? p ? q p β ) d τ + C y=\int_{0}^{t}{\left( -\frac{p-q}{p}\beta \right)d\tau }+C y=∫0t?(?pp?q?β)dτ+C当 t = 0 t=0 t=0时，有 C = y ( 0 ) C=y\left( 0 \right) C=y(0)，因此：
y = ? p ? q p β t ∣ 0 t + y ( 0 ) y=\left. -\frac{p-q}{p}\beta t \right|_{0}^{t}+y\left( 0 \right) y=?pp?q?βt∣∣∣∣?0t?+y(0)当状态误差消失，即 e = 0 e=0 e=0时， y = 0 y=0 y=0，设此时 t = t s t={{t}_{s}} t=ts?：
0 = ? p ? q p β t s + y ( 0 ) t s = p β ( p ? q ) y ( 0 ) t s = p β ( p ? q ) ∣ e ( 0 ) ∣ p ? q p \begin{aligned} & 0=-\frac{p-q}{p}\beta {{t}_{s}}+y\left( 0 \right) \\ & {{t}_{s}}=\frac{p}{\beta \left( p-q \right)}y\left( 0 \right) \\ & {{t}_{s}}=\frac{p}{\beta \left( p-q \right)}{{\left| e\left( 0 \right) \right|}^{\frac{p-q}{p}}} \end{aligned} ?0=?pp?q?βts?+y(0)ts?=β(p?q)p?y(0)ts?=β(p?q)p?∣e(0)∣pp?q??即此时有 e = 0 e=0 e=0，可以看出，收敛时间是有限的，即“有限时间收敛”。
4 普通滑模收敛性能下面考虑普通滑模，其滑模面：
s = e ˙ + c e = 0 s=\dot{e}+ce=0 s=e˙+ce=0参数 c > 0 c>0 c>0。
解上微分方程：
e ˙ + c e = 0 1 e d e d t = ? c \begin{aligned} & \dot{e}+ce=0 \\ & \frac{1}{e}\frac{de}{dt}=-c \end{aligned} ?e˙+ce=0e1?dtde?=?c?令 y = ln ? ( e ) y=\ln \left( e \right) y=ln(e)，则， d y d t = 1 e d e d t \frac{dy}{dt}=\frac{1}{e}\frac{de}{dt} dtdy?=e1?dtde?，带入上式：
d y d t = ? c \frac{dy}{dt}=-c dtdy?=?c积分：
y = ∫ 0 t ( ? c ) d τ + C y=\int_{0}^{t}{\left( -c \right)d\tau }+C y=∫0t?(?c)dτ+C当 t = 0 t=0 t=0时，有 C = y ( 0 ) C=y\left( 0 \right) C=y(0)，因此：
y = ? c t ∣ 0 t + y ( 0 ) y=\left. -ct \right|_{0}^{t}+y\left( 0 \right) y=?ct∣0t?+y(0)当状态误差消失，即 e = 0 e=0 e=0时， y = ? ∞ y=-\infty y=?∞，设此时 t = t s t={{t}_{s}} t=ts?：
? ∞ = ? c t s + y ( 0 ) t s = ∞ + y ( 0 ) c t s = ∞ \begin{aligned} & -\infty =-c{{t}_{s}}+y\left( 0 \right) \\ & {{t}_{s}}=\frac{\infty +y\left( 0 \right)}{c} \\ & {{t}_{s}}=\infty \end{aligned} ??∞=?cts?+y(0)ts?=c∞+y(0)?ts?=∞?即此时有 e = 0 e=0 e=0，可以看出，收敛时间是“无穷”的，这就是常说的“渐进收敛”。
5 一些补充原本本文将在此结束，然而笔者恰好发现了另一篇关于终端滑模的博客，因此有如下补充。
上面叙述的都是对于滑模面的设计，除此之外还可以对趋近律设计。将滑模面设计为终端滑模形式可以保证抵达滑模面后，状态量有限时间收敛；将趋近律设计为终端滑模形式可以保证滑模面的有限时间内抵达。他们的证明过程和上面所给的相似，这里就不赘述，或者可以参看下面博客，其主要是针对趋近律的设计：
非奇异终端滑模
6 参考文献本文关于Terminal滑模部分参考了如下文献：
姜长生，现代非线性鲁棒控制基础[M]，哈尔滨工业大学出版社，2012