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[滑模控制器浅述] （2）滑模控制抗干扰原理

[滑模控制器浅述] （2）滑模控制抗干扰原理

1 前言
2 滑模控制器的抗干扰原理

[滑模控制器浅述] （2）滑模控制抗干扰原理本博客需要一些现代控制理论中Lyapunov稳定性的一些理论知识。
您需要对滑模控制有一个初步的了解，可以参考：
[滑模控制器浅述] （1）二阶系统的简单滑模控制器设计
1 前言滑模控制这么好，大家都爱用它，就是因为其自身有不错的抗干扰和抗参数不确定能力。本文将从数学和理论的角度，叙述为什么滑模控制能够抗干扰。
[滑模控制器浅述] （3）滑模控制抗系统参数不定原理
2 滑模控制器的抗干扰原理 【滑模控制浅述|[滑模控制器浅述] （2）滑模控制抗干扰原理】考虑任意带干扰的二阶系统：
{ x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = f ( x 1 , x 2 ) + g ( x 1 , x 2 ) u + d \left\{ \begin{aligned} & {{{\dot{x}}}_{1}}={{x}_{2}} \\ & {{{\dot{x}}}_{2}}=f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)+g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u+d \\ \end{aligned} \right. {?x˙1?=x2?x˙2?=f(x1?,x2?)+g(x1?,x2?)u+d?其中 d d d是一个未知干扰，一般需要规定其上界 ∣ d ∣ < σ \left| d \right|<\sigma ∣d∣<σ，首先按照前文方法设计滑模控制器。
([滑模控制器浅述] （1）二阶系统的简单滑模控制器设计)
定义误差：
e 1 = x 1 d ? x 1 {{e}_{1}}=x_{1}^{d}-{{x}_{1}} e1?=x1d??x1?考虑滑模面， c > 0 c>0 c>0：
s = e ˙ 1 + c e 1 s={{\dot{e}}_{1}}+c{{e}_{1}} s=e˙1?+ce1?求导：
s ˙ = e ¨ 1 + c e ˙ 1 = x ¨ 1 d ? x ˙ 2 + c e ˙ 1 \dot{s}={{\ddot{e}}_{1}}+c{{\dot{e}}_{1}}=\ddot{x}_{1}^{d}-{{\dot{x}}_{2}}+c{{\dot{e}}_{1}} s˙=e¨1?+ce˙1?=x¨1d??x˙2?+ce˙1?设计趋近律， ε > 0 \varepsilon >0 ε>0， r > 0 r>0 r>0：
s ˙ = ? ε s g n ( s ) ? r s \dot{s}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs s˙=?εsgn(s)?rs根据上面两式，可以求解输入：
x ¨ 1 d ? x ˙ 2 + c e ˙ 1 = ? ε s g n ( s ) ? r s x ¨ 1 d ? f ( x 1 , x 2 ) ? g ( x 1 , x 2 ) u ? d + c e ˙ 1 = ? ε s g n ( s ) ? r s u = x ¨ 1 d ? f ( x 1 , x 2 ) ? d + ε s g n ( s ) + r s + c e ˙ 1 g ( x 1 , x 2 ) \begin{aligned} & \ddot{x}_{1}^{d}-{{{\dot{x}}}_{2}}+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs \\ & \ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u-d+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs \\ & u=\frac{\ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-d+\varepsilon sgn \left( s \right)+rs+c{{{\dot{e}}}_{1}}}{g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)} \end{aligned} ?x¨1d??x˙2?+ce˙1?=?εsgn(s)?rsx¨1d??f(x1?,x2?)?g(x1?,x2?)u?d+ce˙1?=?εsgn(s)?rsu=g(x1?,x2?)x¨1d??f(x1?,x2?)?d+εsgn(s)+rs+ce˙1???这就会发现一个很尴尬的是事实，求解出来的输入 u u u居然是包含干扰 d d d的，意思是要求出来 u u u，首先需要知道 d d d，呵呵，这根本不是我们想要的结果！
因此，考虑：
s ˙ = ? ε s g n ( s ) ? r s ? d \dot{s}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d s˙=?εsgn(s)?rs?d再次求解输入：
x ¨ 1 d ? x ˙ 2 + c e ˙ 1 = ? ε s g n ( s ) ? r s ? d x ¨ 1 d ? f ( x 1 , x 2 ) ? g ( x 1 , x 2 ) u ? d + c e ˙ 1 = ? ε s g n ( s ) ? r s ? d u = x ¨ 1 d ? f ( x 1 , x 2 ) + ε s g n ( s ) + r s + c e ˙ 1 g ( x 1 , x 2 ) \begin{aligned} & \ddot{x}_{1}^{d}-{{{\dot{x}}}_{2}}+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d \\ & \ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)-g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)u-d+c{{{\dot{e}}}_{1}}=-\varepsilon sgn \left( s \right)-rs-d \\ & u=\frac{\ddot{x}_{1}^{d}-f\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)+\varepsilon sgn \left( s \right)+rs+c{{{\dot{e}}}_{1}}}{g\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right)} \end{aligned} ?x¨1d??x˙2?+ce˙1?=?εsgn(s)?rs?dx¨1d??f(x1?,x2?)?g(x1?,x2?)u?d+ce˙1?=?εsgn(s)?rs?du=g(x1?,x2?)x¨1d??f(x1?,x2?)+εsgn(s)+rs+ce˙1???这样求解出来的输入 u u u就不需要干扰 d d d的信息了。下面解释对于这个滑模控制器选取怎样的参数 ε \varepsilon ε和 r r r才能使得控制是稳定的。
考虑如下Lyapunov函数：
V = 1 2 s 2 V=\frac{1}{2}{{s}^{2}} V=21?s2求导：
V ˙ = s s ˙ = ? ε s s g n ( s ) ? r s 2 ? s d ≤ ? ∣ s ∣ ( ε ? ∣ d ∣ ) ? r s 2 ≤ ? ∣ s ∣ ( ε ? σ ) ? r s 2 \begin{aligned} & \dot{V}=s\dot{s} \\ & =-\varepsilon ssgn \left( s \right)-r{{s}^{2}}-sd \\ & \le -\left| s \right|\left( \varepsilon -\left| d \right| \right)-r{{s}^{2}} \\ & \le -\left| s \right|\left( \varepsilon -\sigma \right)-r{{s}^{2}} \end{aligned} ?V˙=ss˙=?εssgn(s)?rs2?sd≤?∣s∣(ε?∣d∣)?rs2≤?∣s∣(ε?σ)?rs2?这说明如果有 ε > σ \varepsilon >\sigma ε>σ，即 ε \varepsilon ε大于干扰上界 σ \sigma σ，那么有 V ˙ ≤ 0 \dot{V}\le 0 V˙≤0，稳定，有 s → 0 s\to 0 s→0，即有 e → 0 e\to 0 e→0， e ˙ → 0 \dot{e}\to 0 e˙→0。系统稳定。
从Lyapunov证明过程来看，其实是输入 u u u中的 s g n ( s ) sgn \left( s \right) sgn(s)项有抗干扰作用，然而，这种抗干扰是很暴力的，可能对要求执行器快速地切换输入 u u u的符号，对执行器很不友好，其系数 ε \varepsilon ε越大，理论上抗干扰能力越强，对执行器要求越大，实际系统很多都是难以达到。
因此，实际使用中 s g n ( s ) sgn \left( s \right) sgn(s)项的系数不应过大，其应对的应当还只是小幅度的干扰（或是小幅度系统不确定，如果笔者不咕咕咕，后面将会介绍滑模控制抗系统参数不确定的原理），对于较大干扰应当使用更加专业的干扰观测器（Disturbance Observer）。