cholesky分解的实现
Cholesky 分解是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。
它要求矩阵的所有特征值必须大于零,故分解的下三角的对角元也是大于零的。
Cholesky分解法又称平方根法,是当A为实对称正定矩阵时,LU三角分解法的变形。
通过直接比较A=L*L^T两边的对应元素来计算L,其中L^T为L的转置。
思路如下:
L为一实下三角矩阵,求L的步骤如下:1、Amn = Lm1*Ln1 + Lm2*Ln2 + ... + Lmx*Lnx其中x = min(m,n)2、Umn = Amn - sum(Lmk*Lnk)其中k ~ (0, min(m,n)),Umn包含Lmn*Lnn3、当m < n时,由于是下三角矩阵,所以Umn为0,仅求m >= n的情况4、如果 m == n 时 Lmn = sqrt(Umn),否则,Lmn = Umn / Lnn5、即求出Lmn的值
根据此思路的代码实现如下:
public class MyCholeskyDecomposition { /***2.0000000000 0.0000000000 0.0000000000*0.5000000000 1.3228756555 0.0000000000*0.5000000000 2.0788046016 1.1952286093* @param args*/ public static void main(String[] args) {double[][] A = {{4.,1.,1.},{1.,2.,3.},{1.,3.,6.}};
double[][] L = new double[3][3];
for(int m = 0;
m < A.length;
m++){for(int n = 0;
n <= m;
n++){L[m][n] = A[m][n];
for(int k = 0;
k < n;
k++){L[m][n] -= L[m][k] * L[n][k];
}if(m == n){L[m][n] = Math.sqrt(L[m][n]);
}else{L[m][n] = L[m][n] / L[n][n];
}}for(int x = m + 1;
x < A.length;
x++){L[m][x] = 0.0;
}}for(int i = 0;
i < L.length;
i++){for(int j = 0;
j < L.length;
j++){System.out.print(L[i][j] + " ");
}System.out.println();
} }}
参考:http://baike.baidu.com/link?url=umukeIkxLkBXVuB_UrcP5gIU2_rvzl2L4iXvTZuZQ9sQYswqMKPnOVcd8xJdIZbYSLpAbqDUIG29TymitgizHK
【cholesky分解的实现】
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