【详细】使用正定分解矩阵拟合线性一次方程 python

1.如何对方程 A X = b AX=b AX=b求解，A=[x1,x2,x3,…xn], b=[y1,y2,y3…yn]都为列向量。
输入A,b的散点图如下：

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数学推导如下：
令 C = A T ? A 令C=A^{T}*A 令C=AT?A变换为： A T ? A X = A T ? b 变换为：A^{T}*AX=A^{T}*b 变换为：AT?AX=AT?b即： C X = A T ? b = B 即：CX=A^{T}*b=B 即：CX=AT?b=B
C 为正定矩阵可以表示为一个下三角矩阵 L 和其转置 L T 的积： C为正定矩阵可以表示为一个下三角矩阵L和其转置L^{T}的积： C为正定矩阵可以表示为一个下三角矩阵L和其转置LT的积：
L ? L T X = B L*L^{T}X=B L?LTX=B
令： L T X = Y 、先通过 L ? Y = B 求得 Y ，再通过 L T X = Y 求得 X 令：L^{T}X=Y 、先通过 L*Y=B求得Y，再通过 L^{T}X=Y求得X 令：LTX=Y、先通过L?Y=B求得Y，再通过LTX=Y求得X

import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import tensorflow as tfsess = tf.Session() A = np.linspace(0, 10, 100) b = A + np.random.normal(0, 1, 100) x_vals_column = np.transpose(np.matrix(A)) ones_column = np.transpose(np.matrix(np.repeat(1, 100))) A = np.column_stack((x_vals_column, ones_column)) b = np.transpose(np.matrix(b)) A_tensor = tf.constant(A)#输入矩阵A b_tensor = tf.constant(b)#输出矩阵BtA_A = tf.matmul(tf.transpose(A_tensor), A_tensor)#求得正定矩阵C L = tf.cholesky(tA_A)#三角矩阵L tA_b = tf.matmul(tf.transpose(A_tensor), b) sol1 = tf.matrix_solve(L, tA_b) #求得Y sol2 = tf.matrix_solve(tf.transpose(L), sol1) #求得Xsolution_eval = sess.run(sol2) slope = solution_eval[0][0] y_intercept = solution_eval[1][0] print('slope: ' + str(slope)) print('y'_intercept: ' + str(y_intercept))best_fit = [] for i in x_vals: best_fit.append(slope*i+y_intercept) plt.plot(x_vals, y_vals, 'o', label='Data') plt.plot(x_vals, best_fit, 'r-', label='Best' fit line', linewidth=3) plt.legend(loc='upper left') plt.show()

【【详细】使用正定分解矩阵拟合线性一次方程】拟合一次方程图像如下：