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瞬间能找到三棱锥的高和外接球半径！ 三棱锥外接球

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三棱锥外切球(可以瞬间求出三棱锥的外切球的高度和半径！)
原问题:在sa⊥ac sb⊥bc的三棱锥S-ABC中 ， SB=BC，SA=AC，AB=1/2SC，三棱锥S-ABC的体积为9√3/2，请问这个三棱锥的外接球半径是多少？
图1
为了求三棱锥的外接球半径，首先要找到半径所在的边或者做半径所在的线段 ， 然后利用边和半径的关系求半径的值 。
问题中只给出了三棱锥各边的关系和三棱锥的体积值 ， 没有给出各边的具体值 。所以 ， 要想求外切球半径的长度 ， 首先要根据三棱锥的体积求各边的值 。
如果要根据三棱锥的体积计算出每边的值 ， 首先要求出三棱锥的高度 。
求三棱锥的高度 。
三棱锥的高度不是固定的 ， 它有自己对应的曲面，所以这里要求的高度是能容易得到结果的高度，它对应的曲面也应该是容易得到结果的 。
要想在这里找到这么高的曲面 ， 你要知道这个:当三棱锥S-ABC中的两个三角形△ASC和△BSC共用一条边SC，并且这两个三角形的另外两条边相等 ， 即SA=AC ， SB=BC时，共用的边SC就是三棱锥的高度；如果这两个三角形的高线AD和BD分别作到公共边SC，那么△ADB就是高线SC对应的曲面 。
图二
【瞬间能找到三棱锥的高和外接球半径！ 三棱锥外接球】知道了这些知识 ， 根据本题给出的信息，我们很快就会求出三棱锥的高度和对应的面积 ， 从而求出三棱锥的棱 。
设SC=2x，因为AB=1/2SC，那么ab = x 。
因为SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC ， SA=AC ， △ASC和△BSC是等腰直角三角形，并且共用斜边，所以SA=AC=SB=BC=√2x ， SC是三棱锥的高度 。取SC的中点D，连接AD和BD 。因为AD和BD都是等腰三角形的高度，AD和BD都垂直于SC ， 那么△ABD就是三棱锥高度对应的曲面 。
因为三棱锥S-ABC的体积是V=9√3/2 。
所以根据三棱锥的体积公式，有V=1/3×S×h=1/3×S△ABD×SC 。
取AB的中点E，接DE 。因为△ASC和△BSC是等边的等腰直角三角形，它们的高线AD和BD也相等，所以三角形ADB也是等腰三角形，所以DE垂直于AB 。
因为SC=2x，BC=√2x直角△BSC ， BD=x直角△BDC和DE=√3x/2直角△BDE 。
图3
s△Abd = 1/2 ab de = 1/2 x√3x/2=√3x^2/4 。
所以三棱锥的体积v = 1/3 √ 3x2/4.2x = √ 3x3/6 = 9 √ 3/2，所以x=3 ， 也就是SC=3 。
在计算了三棱锥的边长之后，还要找到三棱锥的外切球面的半径的位置，然后根据三棱锥的边长计算出它的半径长度 。
求三棱锥的外切球半径 。
要求三棱锥的外切球面半径，需要知道这样一个道理:在三棱锥中，两个不重叠的三角形共用一条边，这两条边对应的两个三角形的角都是直角 ， 那么共用的边就是三棱锥的外切球面直径 。
图4
因为三棱锥的每个顶点都在外切球面上，所以三棱锥中每个直角三角形对应的斜边就是外切球面上的弦，弦也就是直角三角形所在平面(球面的一个截面)的直径 。
如果不同面上的两个三角形共用一条弦，即两个圆形面的直径重合，那么这条弦一定是球体的直径 。
因为SB⊥BC、SA⊥AC、△ASC和△BSC是直角三角形，它们共用一条斜边，所以SC是三棱锥的外切球直径，即SC=2x=6 。
因此，三棱锥的外切球面的半径为3 。
图5
摘要
了解了以上两个知识点后，在做这道题时，我们就很容易看到三棱锥的高度和它的外切球面半径所在的直线，为以后的做题带来了方便 。
高中:已知三角形两边的长度和第三边中线的长度，求三角形的周长？这隐藏了一个已知的
p在△ABC内，OP=1 。△APB与△APC的面积比最小时，求sin∠BAP？最少是什么时候？
高中:取正三棱锥底边上的点作为球面截面，求最小面积 。最小截面是什么时候？
高中:求四面体体积最大时的外接球半径？关键是找到球的中心 。他们是什么关系？
三角形面积最大时，求边C ， 判断∠C？其实就是均值不等式 。

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