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四色定理的初等证明 四色定理

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四色定理(四色定理的初等证明)中国地图
四色定理的初等证明
数学思维模式:公理(公设)-定义-命题-定理
公理和公设(试证明四色定理)
1条公理
两个量等于同一个量 ， 相等 。
例如:如果a=b b=c
那么a=c
2条公理
任何相同金额的相同运算都是相等的 。
例如:如果a=b
那么an=bn
甲丙=乙丙
答！=b！
a \c = b \c
a×c=b×c
3条公理
两个互相重合的图形，全等 。
4条公理
整体大于部分 。
整体是自身部分的不断叠加 。
5公理
不共线的三个点可以确定一个平面 。
两条相交的线可以确定一个点 。
不重合的两点可以确定一条直线 。
两个相交的平面也可以定义一条直线 。
假设1
你可以从一点到另一点画一条直线 。
假设2
直线可以无限延伸 。
飞机可以无限延伸 。
体积可以无限扩大 。
点可以无限缩小 。
假设3
可以任意点为圆心，任意线段为半径画圆 。
假设4
所有的直角都是相等的 。
所有的直角都是相等的 。
所有圆角都是相等的 。
假设5
在同一平面上 ， 
如果两条直线相交于一点，那么它们形成的角度必须大于0 。
如果两条直线平行或重合，那么它们所形成的角度必须等于0 。
也就是说，
在同一平面上 ， 有两条不重合的直线，
如果它们形成的角度大于0度，
那么 ， 它们必须相交于一点 。
如果它们形成的角度等于0度，
那么，它们一定是平行的 。
假设6
在彼此平行的两个平面中 ， 
不在同一平面的两条直线，即使相交，也会相互平行，不会相交于任何平面上的一点 。
命题L:(交集与共点原理)
在同一平面上，任意两条相交的直线都是公共点 。
证明:
假设在同一个平面上有两条相交的直线，但它们不共 。
根据假设6，
在彼此平行的两个平面中，
不在同一平面的两条直线 ， 即使相交，也会相互平行，不会相交于任何平面上的一点 。
说明这两条直线根本不在一个平面上 。
也就是假设错了 。
因此，命题l成立，
在同一平面上，任意两条相交的直线都是公共点 。
也就是说，“在同一个平面上，没有相贯线，只有共同的点线 。”
举例:试证明四色定理
四色定理:任何地图都可以只用四种颜色着色，这样就可以区分有共同边界的国家，相邻的国家颜色不同 。总之“一张地图，四种颜色就够了” 。
证明:
交集公共点原理:
在同一平面上，任意两条相交的直线都是公共点 。
在地图上，忽略海洋和空之间的阻隔，每个国家都是一个封闭的图形 ， 彼此相邻 。
如果一个国家有邻国，它们必须共线2点以上 。
地图也是有边界的，地图外围的邻居少，地图中心的邻居多 。
国家数量至少为1个，最多为6个 。地图通常是这样的 。
命题r:
彼此相邻，颜色不同 。
假设地图上每个国家有四个邻国，用四种颜色上色就够了 。
四色循环图:
四色循环图
如上所示，
每个封闭的形状代表一个国家，即长方形或“7”形长方形 。
线在2点处，表示国家相邻 。
颜色:
。
四色循环序列:1，2 ， 3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，…
四色循环序列的特征:
第4项(n-1)+1是1，
第4项(n-1)+2是2 ， 
第4项(n-1)+3是3，
第4(n-1)+4项为4，[n为正整数]
颜色填充规则:
按“四色循环顺序”规律填充 。
象限1: 1，2，3，4，1，2，3，4 ， 1，…
象限2: 2，3 ， 4，1，2 ， 3，4，1，2，…
象限3: 3，4，1 ， 2 ， 3，4，1 ， 2，3，…
象限4: 4，1，2，3，4，1，2，3，4 ， …
数列是无限的，所以四色循环图可以无限扩张 。
在四色循环图中，
所有“7”形长方形的国家都有四个邻国 ， 甚至是最外围的国家 。
中心最多的四个“小长方形”国家也可以有四个邻国 。
原因如下：
与自己的边界相对的国家可以是和自己一样的颜色，
不同颜色的边界相对的国家，相当于一个邻国，称为“准邻国” 。
3个邻国+1个潜在邻国= 4个邻国
所以在四色循环图中，四个最中心的国家可以有四个邻国 。

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