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弧度计算弧长公式 弧度计算弧长公式

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弧度计算弧长公式 弧度计算弧长公式

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弧度计算弧长公式，如何计算弧长 。这个问题本站为您提供更多相关信息让你了解 。
计算半径为 r(>0) 的圆C?上，弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情，
由于，C?的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长，所以得到，s=2πr?θ/2π=rθ 。
但是，若R处于流形中，我们又该如何计算呢？
任意维度的欧氏空间 ?? 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 构成的流形 。考虑流形 ? 到 ?2 的光滑映射，

【弧度计算弧长公式 弧度计算弧长公式】它在 ?2 中的像就是 C? 。
我们在 ? 中取长度为θ开区间 V=(a, b)，则 弧f(V)的长度就是所求s 。如图1，将V平均分为v个小区间，令x?=a，x???=b，这些分割点的像 f(x?),?,f(x???) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s?, ?, s? 的小弧度，小弧长度之和就是s 。

图1：计算弧长
每个小区间 (x?, x???)，都对应 导射 df|?? ，它是 x? 处切空间 T??? 到 f(x?) 处的切空间 T?2的线性映射，又因为 T???就是?，所以 Δx?=|x???-x?| 也就是 T??? 中的切向量，故 df|??(Δx?) 是 T?2中的切向量，同时也是 C? 在 f(x?) 点 的切向量 。
我们知道 ， 当v趋近无穷大时 ， Δx?趋近0，于是 弧长 s? 趋近 弦长 ∥f(x???)-f(x?)∥，而此时 ， 弦向量 f(x???)-f(x?) 也将逼近 df|??(Δx?)  ， 于是有 ， 

进而，

至此，问题关键转变为：求 T?2 中向量 df|?(1) 的长度，这个根据《矢量分析》的知识有，

注：∥x∥ 表示向量x的长度，也叫模或范数； 表示向量x和y的内积（为了区别于二元坐标向量，本系列一律使用尖括号表示内积） 。
于是，

这与我们一开始计算出来的结果一致 。
若将上面的流形从 ?2 替换为 S2，则光滑映射，

在S2 中的像是 C? ， （当然，这里需要规定 r
用类似上面的方法，同样可以得到 ⑴，所以关键是：求 TS2 中向量 df|?(1) 的长度，这有，

这与前面的结果相同 ， 故，最终的弧长也和前面完全一样 。
实际上，对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ?→M 的弧长s的计算，都可以 推导 出公式 ：

所以，问题的关键是：
求空间 TM 中向量 df|?(1) 的长度 ∥df|?(1)∥ 。
这样就将，流形中任意两点间的任意弧长的度量问题，转变为 ， 对于切空间中切向量长度的度量问题 。也即是说，我们只需要在切空间中定义切向量h的度量∥h∥，就可以通过 ⑴，在流形中诱导出弧长度量 。而根据《矢量分析》的知识知道：

因此，最终的关键是，要给M的每个点x对应的切空间TM? 定义一个内积 ，更具体地说 ， 我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g，对于每个 x∈M，有 g(x) = ：TM?×TM?→?，而由《高等代数》的知识知道，是TM? 上的二重线性函数，并且必须满足：
对称性： = ；正定型： ≥ 0 且 = 0 ? u=0；
这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric） ， 定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形（riemannian manifold） 。

图2：黎曼度量
我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间 ， 实际上所谓加入黎曼度量，就是以光滑的逐点方式，让流形上的每个切空间变成内积空间的过程 。
内积可以很多，我们熟悉的的向量点乘：

称为欧氏内积 。一遍来说，对于流形M的不同的切空间可以定义不同的内积 ， 只要保证黎曼度量g是光滑映射就可以了，但是我们也可以对所有切空间定义同一个内积，比如：让S2的所有切空间都是欧氏内积，实际上欧氏空间 ?? 自然就具有 欧氏内积，所以它当然也就是 黎曼流形了 。
——[END]——

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