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有理函数的不定积分拆分方法

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有理函数的不定积分拆分方法

文章插图
求有理函数的积分时 ， 先将有理式分解为多项式与部分分式之和 ， 再对所得到的分解式逐项积分 。有理函数的原函数必是有理函数、对数函数与反正切函数的有理组合 。
积分函数f(x)=(x^2+1)/[(x-1)(x+1)^2]
用待定系数法 ， 设分拆成以下有理分式f(x)=A/(x-1)+B/(x+1)+C/(x+1)^2
通分得f(x)=[A(x+1)^2+B(x+1)(x-1)+C(x-1)]/[(x-1)(x+1)^2]
=[(A+B)x^2+(2A+C)x+(A-B-C)]/[(x-1)(x+1)^2]
与原式比较 ， 分母同 ， 分子中x同次幂的系数必然相同 ， 得
A+B=1,2A+C=0,A-B-C=1,联立解得A=B=1/2,C=-1,
【有理函数的不定积分拆分方法】则f(x)=(1/2)[1/(x-1)+1/(x+1)]-1/(x+1)^2 。

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