最大的负整数是多少，那么就可以计算出最大的正整数是多少 。例如，假设一个数字是1，那么这个数字就是1÷1.5=0.5，也就是说，如果有10个人参加加考试，那么最大的正整数就是10 。这样的 *** 可以帮助我们快速计算出答案 。不过，这种 *** 需要大量的计算，所以并不适合初学者使用 。。如果你的基础比较好，那么可以尝试一下这种 ***。
作者 | 张影
来源 |《数学元年》
“大衍求一术”是中国古代数学的一项杰出成就，给出了求二元一次方程整数特解的有效 ***。
本文介绍“大衍求一术”的算法与数学原理，适合中学生课外阅读 。
(一)为什么需要“大衍求一术”？
“大衍求一术”算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的，用来求“孙子定理”中的“关键数” 。
以《孙子算经》中的“物不知数”问题为例：
已知正整数 除以 的余数分别为求除以 的余数 。
设已求得关键数 满足
则根据余数运算的原理，有
文章插图
因为 分别是 的倍数，可知求 等价于求 使得
显然 符合要求，从而得到关键数
在后世的数学著作中，关键数通常利用歌诀来记忆 。例如，明代数学家程大位在《算法统宗》中编写的歌诀为：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，
除百零五便得知 。
“大衍求一术”的目标是破解这个关键问题，即：
求解一次同余式方程
其中 是互素的正整数 。
(二)“大衍求一术”要意
对于互素的正整数对 “大衍求一术”算法实际上给出二元一次方程
的一组非负整数解
前文“怎样求最大公因数”(“数学元年”公众号2022年10月9日)，利用求最大公因数的更相减损过程，给出了求上述二元一次方程的一组非负整数解的简单的逐步提升算法 。
秦九韶之所以要创造“大衍求一术”这样的新算法，是与中国古代数学的筹算技术密切相关的 。
利用筹算进行求最大公因数的更相减损过程，不便于保留中间过程 。因此更相减损过程停止后，实际上无法利用提升算法来逐步回退提升求解 。
“大衍求一术”的优点是，随着辗转除法的进行，在第 步(设余数为 ) 得到 及 满足
最终，当辗转除法在第 步停止时(可能需要人为地增加一步调整除法)，刚好得到
因此 是 的一组解 。
(三)“大衍求一术”的算法与解释
设 是互素的正整数 。
改进的“大衍求一术”算法的目标是：求出方程
的一组非负整数解
算法每一步的结果是两行三列的数表，形如：
它的上下两行分别满足条件：
算法的初始状态设定为：
如果 则 满足要求 。
设
前两步算法按 和 分情形说明 。
情形一：
. 设 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘初始数表中对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第1步的结果：
容易验证，数表的第一行的意义是：
. 如果 则算法结束 。设 且 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第2步的结果：
容易确认，数表的第二行的意义是：
情形二：
. 设 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘初始数表中对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第1步的结果：
容易确认，数表的第二行的意义是：
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