【如何理解由有理数得出的无理数？】首先定义得熟悉 。整数和分数统称有理数 。整数好理解 。分数要注意 。有限小数是分数 。无线循环小数也是分数 。无限不循环小数是无理数 。
其他观点：
这是一个非常非常有趣的问题 。按照近代数学家所说 。这个问题直接让普通微积分的学习 。进入到了数学分析的领域 。这是这个问题的背景价值 。现在 。我想说大家请接收好逻辑上的一次严格旅行 。因为严密的实数理论是逻辑上的怪物 。和我们人类天性的感觉思维跟不匹配 。所以 。我会尽量回答的通俗又易懂 。以便理解 。
自然数借助直观产生 。是每个文明源头都会认识到的 。零起源于印度 。经由阿拉伯人传到欧洲 。值得一提的是 。我们人类惯常使用十进位表示自然数 。然而少数文明体系里也曾经使用过十二进制 。乃至六十进位 。本质上说 。使用十进位表示数不过是因为我们人类有十根手指而已 。我们的全盘也是典型的五进位运算器 。再把克罗内科这句话送上：上帝创造了自然数 。其他不过都是人的创造 。我们想一想 。在自然数范围进行度量和运算都是不够的 。需要我们进行进一步的扩展 。起源于现实：长度的测量 。只有自然数是不够的 。我们选定单位长度之后 。是没有办法去比较身高比较重量的 。总不能说每个人都是一米到两米之间吧？这就迫使我们把单位一进行划分 。我们惯常的十等分的出来十分之一米 。再有一百分之一米 。这就自然而然地产生了有理数 。如果是五进位 。会有五分之一二三四等等 。相应的就产生所有的正有理数 。另一方面 。在自然数里进行四则运算 。如像零减去所有其他自然数 。我们就自然而然把结果可以规定成负的自然数 。负一负二等等 。同理可以得到负的任何有理数 。把自然数和负的自然数合在一起称为整数 。整数又可以视为除以一的有理数 。总而言之 。数系扩展到有理数是相当之了不起了 。因为 。在有理数范围内 。四则运算只剩下了加法（减法相当于加上一个数的相反数）和乘法（除以一个数相当于乘以它的倒数） 。然后需要注意有理数是稠密的：任何两个不相等的有理数之间总有无数个有理数 。这也基本上就是从小学学到初中主体部分的数的知识 。
是不是到此为止 。我们的数系扩充就够了呢？如果只是进行四则运算的话 。确实有理数已经满足我们的需求了 。一个比较值得注意现象出现在了几何学里：勾股定理告诉我们单位正方形的对角线是根号2 。微积分里大量的极限运算（只要我们举出来一个例子 。那就是利用正多边形逼近单位圆的周长问题 。多边形趋于无穷就是圆的周长）多数在有理数范围内是不能被满足的 。这就迫切需要我们为了满足极限运动而将有理数进行一次扩展 。并且根据我们一贯的数系扩展原则 。扩展后的数系要满足原先数系所满足l的大量优良运算性质 。
这也是第一次数学危机（无理数的发现）第二次数学危机（微积分的基础）的直接结果 。人类发现无理数后因为恐惧和迷惑 。导致了欧多克斯几何学无理数理论成为希腊乃至牛顿时代众多数学的逻辑基础 。而微积分的无穷小的谜题也在柏克莱大主教的诘难下一直悬而未决 。更有 。之后的数学家虽然大刀阔斧进步和创造 。但是大家心里有底 。都知道这是逼开了基础难题 。
解决这个微积分基础问题 。最终是在大革命之后的柯西 。魏尔斯特拉斯和波尔查诺（最后这位工作做的早 。但被注意到的时候太晚）手里被完美的解决 。对他们工作进行总结和系统处理的 。康托尔戴德金不过是继承者（他们都是魏尔斯特拉斯学生） 。我们现在分析学教材里更多采用戴德金的分割 。康托尔的有理数区间套构造和十进位小数的构造 。这在比较写的有水平的分析学教材里都可以找到 。我在此处只用戴德金的分割来说 。没有别的原因 。选择它只是因为更合于我们的直观思维 。因而也更好理解 。
分割基于几何原本里提到的一个有趣事实：我们对一条直线进行切段处理所得结果并非两条直线而是一条射线和一条直线 。这意味着我们对表征有理数的数轴进行分割 。所得结果是左段有最大数或者右端有最小数 。二者必居其一 。并且左端里任何一个数永远小于右端的数 。分割左端和右端的所有数合计起来就是全体有理数 。我们把这样的分割称之为有理分割 。但对数轴分割的时候 。大量出现的结果却是右端无最大数的同时 。右端也没有最小数 。这个事实告诉了我们 。有理数系已经不足以对于分割封闭 。我们把这种左右均无界的分割称之为无理分割 。如果说有理分割界点处是一个有理数的话 。那么无理分割对应的结果就是一个无理数 。也就是说 。对数轴进行分割得到的结果就是实数 。其中只要有界点出现他就是有理数 。否则就是对应一个无理数 。（利用闭区间套也是如此 。对有理数用区间套划分 。如果有理区间套中间套住一个点就是有理数划分 。如果套不出来的一个有理数点 。那它是超出有理数范围外的 。称之为无理数的数）我们现在需要在确认实数创造而出之后 。它是否对极限运算是封闭的 。是否意味着我们在创造出来实数后还需要进一步创造出新的数 。幸好 。我们根据这个过程 。以及若干有趣的定理 。比如聚点原理 。单调有界原理 。柯西准则等七条实数连续性公理手段可以很容易地证明这是不必 。实数不光稠密而且连续和完备 。这就说明实数作为极限运算也就自然成了微积分的基础理论 。
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