古代数学中的“化圆为方”是什么意思？该如何理解这一概念？( 二 ) _经验知识

这乍听起来是个很无理的问题。别的先不说。要把圆变成正方形。总要先处理那弯弯的圆周吧？看起来无论怎么切。只要是有限块。那恐怕也不能将弯曲的边界拗成直线。实际上。可以证明。如果只用剪刀这样的工具的话（从数学上来说就是如果每一块的边界都是简单闭合曲线的话）。这个任务是不可能做到的。但是。原来的题目中也没有限制只能用剪刀。只要是“点集” 。无论是否连在一起。都符合要求。所以希望还有。不过就是更“犯规”一点而已。

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从化圆为方到选择公理。拉兹柯维奇的答案
在1990 年。匈牙利数学家拉兹柯维奇（MiklósLaczkovich）终于肯定地解答了塔斯基的这个问题。他证明了这样的先割后补的“化圆为方”方法是存在的。美中不足的是。他并没有实际给出一个割补的方法。而只是证明了这样的方法存在。而且粗略估计需要将圆切成大约10 的 50 次方个点集。而更为犯规的是。这些点集是没有面积的。这些点集甚至不是面积为0 。而是我们根本无法定义它们的面积。在数学上。这些无法定义面积的点集叫不可测集。为了定义这些集合。拉兹柯维奇在证明中大量使用了选择公理。这是定义不可测集的唯一方法。也是令我们不能明确构造分割方法的原因。
尽管现在大多数数学家都会自然地运用选择公理和它的各种变种。但在 20 世纪初。公理集合论起步伊始之时。是否允许使用选择公理曾经是热门的争论话题之一。直接与针对数学基础的第三次数学革命扯上了关系。整场风波围绕着一个问题：什么是可以被接受的数学推理？这场关于数学基础的争论持续了几十年才慢慢平息下来。

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结语
这一问题既引人入胜。又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单。而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺。而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发。可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索。数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题” 。认识到有些事情确实是不可能的。这是数学思想的一大飞跃。
这一问题的无解并不重要。重要的是人们在解决问题的时候。会发现很多以前从来没有见过的知识。这些知识是数学发展的动力。而作为促进发现这些知识的问题。则是数学的真正生命力所在。可以这么说。如果哪一天。数学不能够再提出新的问题。那这门学科就已经走到尽头了。当我们怀着这样的心情来看数学界中种种不可思议的谜题时。是不是突然觉得：

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参考文献：木遥在科学松鼠会上的文章。长度是怎样炼成的
其他观点：

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问题的核心在于长度为根号pi的线段长如何作出。其实大家可以动手画一画。其实相当困难。

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问题的解题
直到十九世纪后。数学家伽罗瓦和阿贝尔开创了群论来讨论有理数系数多项式方程解的方法。人们才开始到这个问题的本质。

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如此。将所有的Ｅ－尺规可作的点的集合记作Ｓ（Ｅ）。而所有从Ｅ能尺规作出的点集就是另一个相关概念了：规矩数。即Ｈ是从集合Ｅo（０。０）（０。１）开始。尺规可作点的集合：那么规矩数定义为Ｈ的点的横坐标和纵坐标表达的数。定义：实数a和b是规矩数仅当（a,b)是Ｈ中的一个点。如此。一直将问题的讨论延伸至复数域。可以证明得数规矩数是复数集的子集。尺规作图问题从几何问题转化为代数问题：能够用尺规作出的数Ｚ都有对应的最小多项式。
1882年。林德曼等人证明了圆周率pi并不存在这样的有理多项式m(z) 。使m(z)=0的根为pi 。这样的数被称之为超越数。而将与之对应的数学称之为代数数。所有的规矩数都是代数数。而圆周率pi不是。当然。对这个证明有兴趣的大家可以参考林德曼－魏尔斯特拉斯定理。