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圆环转动惯量公式推导 圆环转动惯量计算公式( 二 )

睿知经验知识


5、圆环转轴沿直径的转动惯量如何推导？优质回答1：通过圆环中心轴推出 。首先要理解什么是薄圆环 ， 所谓薄圆环指的是径向厚度趋近于零 ， 也就是内径和外径无限接近 。也就是内外径近似可以看做一个定值：R 则：沿圆周的线密度：ρ=m/2πR 沿圆周的方向取Δθ, 由：J=mR^2 则有：ΔJ=R^2dm dm=(m/2πR)Rdθ 故有：dJ=R^2dm=R^2(m/2πR)Rdθ=(R^2m/2π)dθ 两边积分 ， 积分区间[0 ， 2π]：J=2π（R^2m/2π）=R^2m 通过圆环直径轴 。取角度为：θ处的任意小的角度：Δθ ， θ为转轴与直径的夹角 。则有：dJ=（Rcosθ）^2dm=（Rcosθ）^2(m/2πR)Rdθ=R^2（cos2θ+1）^2mdθ/4π 两边积分 ， 积分区间为：[0 ， 2π]：J=(mR^2sin2θ)/2+mR^2/2=0+mR^2/2=mR^2/2
优质回答2：1. 圆环转轴沿直径的转动惯量是可以推导出来的 。
2. 假设圆环的质量为M ， 外径为R ， 内直径为r ， 则根据圆环惯量的公式I = MR^2/2 - mr^2/2 ， 其中M为圆环质量 ， R为外径 ， m为圆环内孔质量 ， r为内径 。
3. 圆环沿直径转动的情况下 ， 转动惯量沿垂直直径轴对称 ， 而沿水平直径轴时转动惯量为0 ， 所以圆环转动惯量为I = MR^2/4 。
4. 因此 ， 圆环转轴沿直径方向的转动惯量为I = MR^2/4 。
优质回答3：圆环转动惯量推导：
在圆环内取一半径为 r ， 宽度 dr 的圆环 ， 其质量为 dm = m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r dr
对通过圆心垂直于圆平面轴的转动惯量为 dJ = dm r^2 = m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r^3 dr
转动惯量为 J = ∫dJ
= ∫(R1→R2) m/(π R2^2 - π R1^2) * 2 π r^3 dr
= 1/2 m (R2^2 - R1^2)
转动惯量在旋转动力学中的角色相当于线性动力学中的质量 ， 可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性 ， 用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系 。

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