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已知函数fx=x3+ax2+bx+c 已知函数fx等于e的x次方

睿知经验知识

【已知函数fx=x3+ax2+bx+c 已知函数fx等于e的x次方】fx是指数函数 ， 其底数为常数e ， 指数为x 。e是一个神奇的数 ， 无限接近于2.71828 。因此 ， fx在x不断变化时 ， 呈现出非常特殊的性质 。它具有良好的单调性和连续性 ， 在数学和自然科学上有广泛的应用 。在微积分中 ， 指数函数是指数和对数函数的基础 。在概率论和统计学中 ， 指数函数也经常出现 。与其他函数不同 ， 指数函数无论在哪个范围内都有其独特的特性和作用 。本文将对e的x次方这一函数进行深入探究 ， 展示其奇妙的数学之美 。
已知函数f(x)=e^x(e为自然对数的底数)已知函数f(x)=e^x ， 证明对任意实数x?和x? ， 且x?≠x? ， 都有不等式f[(x?+x?)/2]<[f(x?)-f(x?)]/(x?-x?)<[f(x?)+f(x?)]/2成立.

证明：先证明一个不等式：当x>0时 ， 不等式1<[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2成立............(1)
为此作函数g(x)=e^x-e^(-x)-2x ， 由于g '(x)=e^x+e^(-x)-2=(e^2x-2e^x+1)/e^x=(e^x-1)2/e^x≧0 ， 
故g(x)在其定义域R上单调增 ， 故当x>0时,g(x)>g(0)=0；即当x>0时有e^x-e^(-x)>2x ， 即有
1<[e^x-e^(-x)]/2x ， 故(1)式左端成立 。
由于h(x)=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]-x=1-2/[e^(2x)+1)-x是减函数 ， 故当x>0时有：
h(x)=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]-x=[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]-x<h(0)=0
故[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]<x ， 即有[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2 ， 故(1)式右端成立 。
于是可知：在x>0时不等式1<[e^x-e^(-x)]/2x<[e^x+e^(-x)]/2成立 。
下面回到原题：不失一般性 ， 设-∞<x?<x?<+∞是区间(-∞ ， +∞)内的任意两点 ， 令x=(x?-x?)/2>0；
代入(1)式得1<{e^[(x?-x?)/2]-e^[(x?-x?)/2]}/(x?-x?)<{e^[(x?-x?)/2]+e^[(x?-x?)/2]}/2
即有e^[(x?+x?)/2]<(e^x?-e^x?)/(x?-x?)<(e^x?+e^x?)/2
【此处的代数变换写出来看不清楚 ， 故省略了 。只需都除以e^[(x?+x?)/2]即还原成上式】
即有f[(x?+x?)/2]<[f(x?)-f(x?)]/(x?-x?)<[f(x?)+f(x?)]/2 ， 故证 。

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