文章插图
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1、△ABC的内心为I，内切圆与三边切于D、E、F，那么：AE=AF ， BD=BF，CD=CE
2、设三角形的三边程度分别是a、b、c，那么：BD=BF=(a+c-b)/2
3、线段的比例：BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)进而，得到一个三角恒等式：(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)
4、设P是BC的中点，D关于P的对称点是D1，那么：AB+BD1=AC+CD1也就是说，AD1平分△ABC的周长 。
5、设Q是BA中点，R是AB中点；
【怎么认识三角形内切圆圆心 如何认识三角形内切圆圆心】用上面的方法，同样可以构造出△ABC的周长平分线BE1和CF1 。
6、三角形的三条周长平分线共点，这个点称为△ABC的界心，标记为J 。
7、设G为△ABC的重心 ， 那么 ， I、G、J三点共线，且JG=2*IG 。
8、由此可知，△ABC和△PQR关于G透视对应 ， 对应关系是：A、B、C对应P、Q、R ， I对应J ， 直线AJ对应直线PI 。所以，直线PI是△PQR的周长平分线 。
9、设PI与QR交于T，那么：A、T、D共线 。
10、S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC这样可以求出I相对于△ABC的重心坐标是(sinA:sinB:sinC) 。
11、直角三角形的内心：△BAC中 ， AK⊥BC于K，I、M、N分别是△ABC、ABK、ACK的内心 ， ID⊥BC于D，AK交PQ于T 。
求证：四边形DNTM是正方形 。
12、设△ABC的三边长分别是a、b、c，那么，容易算出：BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)
要证明DNTM是正方形，可以先间接证明：
DN//MT//BP
DM//NT//CQ
这就需要证明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
因为a^2=b^2+c^2，所以容易证明上式成立 。
再证明DM=DN 。
因为DM=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC，
所以，转而证明：BD:BP=CD:CQ
而这一点是比较容易的了 。
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