其他类型的流形 分析，流形要在流形上学习几何，通常需要用附加结构来装饰这些空间，比如上面的差分流形 。请给出一个流形没有差分结构的例子 ， 根据流形的定义，一个一般的拓扑流形不一定具有光滑的结构，如果具有光滑的结构，则称为微分流形，但是一个拓扑群必须具有光滑的结构 。像三角形这样的反例是拓扑 。
1、一个紧集和一个开集的交是什么集合?麻省理工人眼中的数学体系1 。我为什么要深入数学的世界？作为一名计算机专业的学生 ， 我无意成为一名数学家 。学习数学的目的是为了爬上巨人的肩膀，希望能站在更高的高度，更深入更广泛地看看自己学了什么 。说起来，刚来这个学校的时候，我也没想到自己会有一段数学之旅 。导师原本想让我做的题目是建立一个外观和运动的统一模型 。
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事实上，在最近的论文中，使用各种GraphicalModel来统一各种事物的情况并不少见 。我不否认现在流行的GraphicalModel是对复杂现象建模的有力工具，但我不认为它是万能的，不能代替对所研究问题的深入研究 。如果统计学习能包治百病，那么很多“下游”学科就没必要了 。
2、几何学的前世今生:这几位大师功不可没天空浑然一体，巧妙拼接 。浑然一体 ， 浩瀚而奇妙 。大自然热爱几何学，和纤维能量的四种力量 。千年之忧，奥美李陈佳 。1975年，杨振宁先生为陈省身先生进行了系统的、公理化的几何研究，这可以追溯到古希腊的欧几里得时代(公元前300年) 。欧几里得在他的《几何原本》中总结了几个几何公理和公设 。在此后近2000年的时间里，欧几里得的公理和公设一直是平面几何的基本规则和基础 。
在欧几里德公设中，有第五个公设(又称平行公设):有且仅有一条直线可以通过已知直线外的一点与已知直线平行 。三角形的内角之和是180度，这是一个假设 。这是一个基于日常经验的假设，几千年来很少受到质疑 。但是在19世纪早期，碰巧两个螃蟹爱好者 ， 高斯和罗巴切夫斯基，对平行公设产生了怀疑 。经过反复论证，他们发现欧几里得的平行公设在逻辑上并无必要，而是人为添加的限制 。
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