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实现欧拉函数python的简单介绍

IT技术欧拉

2的欧拉函数值为什么是一.欧拉函数
1.算法描述
1～N 中与 N 互质的数的个数被称为欧拉函数实现欧拉函数python，也就是说，1~N中与N的最大公约数是1的数的个数，记作\phi \left ( N \right ) 。
在算术基本定理中 ， 若
N=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2 }}\cdot \cdot \cdot p_{n}^{\alpha _{n}}
则实现欧拉函数python：
\phi \left ( N \right )=N\left ( 1-\frac{1}{p_{1}} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_{2}} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_{n}} \right )
证明如下：我们可以分以下几步求出N的互质的数
1.在1~N这些数中，将p1、p2、……pn的倍数剔除 ， 很显然，pi的倍数和N的最大公约数是不是1.
N-\frac{N}{p_{1}}-\frac{N}{p_{2}}-\cdot \cdot \cdot -\frac{N}{p_{n}}
2.但需要注意是，在1~N这些数中，pi*pj的倍数倍剔除了两次，因此要把他们加上
\frac{N}{p_{1}p_{2}} \frac{N}{p_{1}p_{3}} \cdot \cdot \cdot\frac{N}{p_{n-1}p_{n}}
3.但是 ， 对于pi*pj*pk的倍数，在第1步时，被剔除了三次，在第2步时，被pi*pj、pi*pk、pj*pk加上了三次，因而我们需要把pi*pj*pk的倍数再剔除一次：
-\frac{N}{p_{1}p_{2}p_{3}}-\frac{N}{p_{1}p_{2}p_{4}}-\cdot \cdot \cdot -\frac{N}{p_{n-2}p_{n-1}p_{n}}
4.那么可以想到 ， 接下来就是所有N除以四项乘积的和，减去N除以五项乘积的和……
事实上，将所有的这些式子加起来，得到的就是
\phi \left ( N \right )=N\left ( 1-\frac{1}{p_{1}} \right )\left ( 1-\frac{1}{p_{2}} \right )\cdot \cdot \cdot \left ( 1-\frac{1}{p_{n}} \right )
首先，当分母为奇数个乘积时 ， 那每一项的符号都是-1的奇数次方，还是-1实现欧拉函数python；当分母为偶数个乘积时，每一项的符号都是-1的偶数次方，为正 。
这个公式可以类比于约数的个数,道理是一样的 。
\left ( p_{1}^{0} p_{1}^{1}\cdot \cdot \cdotp_{1}^{\alpha _{1}}\right )\left ( p_{2}^{0} p_{2}^{1}\cdot \cdot \cdotp_{2}^{\alpha _{2}}\right )\cdot \cdot \cdot \left ( p_{n}^{0} p_{n}^{1}\cdot \cdot \cdotp_{n}^{\alpha _{n}}\right )
2.代码实现
可以发现，欧拉函数并不关心每个质因子的指数是什么 ， 因而我们不用s来存储指数 ， 也不用map来存储质因子，每当我们发现一个质数i时，让结果乘以(1-1/i) 。但需要注意两点：
1.对于(1-1/i)，1/i是小数，就这么写的话，那每一项都是1了 ， 所以要×i再÷i ， 即：res=res/i*(i-1) 。
2.一定要记得在循环结束后，判断x是否会大于1，如果大于1，说明还存在x这个质因子，再执行一步：res=res/x*(x-1) 。
具体代码：
#includeiostream
using namespace std;
int n;
int main(){
cinn;
while(n--){
int x;
cinx;
int res=x;
for(int i=2;i=x/i;i){
if(x%i==0){
while(x%i==0){
x=x/i;//i是我的一个质数
}
res=res/i*(i-1);
}
}
if(x1) res=res/x*(x-1);//注意
coutresendl;
}
}
二.筛法求欧拉函数
1.算法描述
第一部分中的算法适合于求单个给定数字对应的欧拉函数的值 ， 但是当题目要求求1~N所有数字的欧拉值之和时 ， 用第一部分中的算法就会花费很多时间，下介绍用筛法求欧拉函数：
首先我们回顾筛法求质数的过程，对于给定的正整数N：
for(int i=2;i=n;i){
if(!str[i]){
primes[cnt]=i;
}
else{
for(int j=0;primes[j]=n/i;j){
str[i*primes[j]]=true;
if(i%primes[j]==0) break;
}
}
}
通过筛法，所有的质数，合数我们都可以遍历到，把所有的质数加入数组primes中，并且str[i*primes[j]]保证了每一个数都会被它的最小质因子筛掉，而if(i%primes[j]==0)保证了不会被重复标记，详细介绍可以参考：
那如何做出修改让筛法求欧拉函数？
1.首先，对于质数i ， 那么1~i-1都与i互质 ， 那么\phi \left (i \right )=i-1
2.对于合数 ， 即我用str[i*primes[j]]将一个合数筛掉时 ， 我必须同时把它的欧拉值求出来 ， 我们分为以下两种情况：
A.若i可以整除primes[j] ， 那么primes[j]*i和i有共同的质因子 ， 这是因为primes[j]是i的质因子 ， 那么\phi \left ( i \right )已经包括了1-\frac{1}{primes[j]}这一项，而欧拉函数的值与指数无关，因而：
\phi \left ( i*primes[j] \right )=primes[j]*\phi \left ( i \right )
B.若i不能够整除primes[j]，那么primes[j]*i比i多一个质因子primes[j]，这是因为i本身不包含质因子primes[j]，而primes[j]本身是质数，不会再有质因子，因而：
\phi \left ( i*primes[j] \right )=primes[j]\left ( 1-\frac{1}{primes[j]} \right )\phi \left ( i\right )=\left ( primes[j] -1\right )\phi \left ( i \right )
因而，每一个数的欧拉值都可以通过该种方法求出来 。
2.代码实现
关于代码实现需要注意的是，res的值可能会很大 ， 所以要定义成long long类型 。
具体代码：
#includeiostream
using namespace std;
int x;
const int N=1000010;
long long res;//最后的欧拉函数的值的和 ， 有可能会非常大 ， 要用long long
bool str[N];//是否被标记过
int primes[N];//存放质因子
int cnt;
int phi[N];//各个N的函数值
int main(){
phi[1]=1;//1的欧拉值为1捏
cinx;
for(int i=2;i=x;i){
if(!str[i]){//如果没有被标记过 ， 那么是质数
phi[i]=i-1;//质数的欧拉值就是i-1
primes[cnt]=i;
}
for(int j=0;primes[j]=x/i;j){
str[i*primes[j]]=true;//首先我一定能把所有的合数遍历到 ， 这是肯定的
if(i%primes[j]==0){
//如果i可以整除primes[j]的话,那么i和primes[j]*i的最小质因子是相同的
phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i];
break;
}
else{
//如果i不可整除primes[j]的话，那么i和primes[j]*i就相差一个primes[j]这个最小质因子
phi[i*primes[j]]=primes[j]*phi[i]*(primes[j]-1)/primes[j];
//那这样就把所有数的欧拉值都存在phi中
}
}
}
for(int i=1;i=x;i){
res=res phi[i];
}
coutres;
}
Python如何引用欧拉常数欧拉常数(Euler-Mascheroniconstant) 。
学过高等数学实现欧拉函数python的人都知道实现欧拉函数python ， 调和级数S=1 1/2 1/3 ..是发散实现欧拉函数python的这时引用欧拉常数 。
在数论实现欧拉函数python，对正整数n，欧拉函数是小于n实现欧拉函数python的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler’stotientfunction) ， 它又称为Euler’stotientfunction、φ函数、欧拉商数等例如φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质 。
python怎么调用欧拉距离的函数φ函数的值 通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数 ， x是不为0的整数 。φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身） 。(注意：每种质因数只一个 。比如12=2*2*3那么φ
CTF常见RSA相关问题的解决（复现） 本文参考为对其知识进行掌握，写此文章来梳理和加深记忆
前言：理解基本概念，本文将每种攻击方式实现方法提炼成了一个函数，便于理解原理也可以直接调用 。
基?。?
RSA概要：
在开始前可以通过《RSA算法详解》这篇文章了解关于RSA的基础知识，包括加解密方法 ， 算法原理和可行性证明等 。（特详细）
应用流程：
1.选取两个较大的互不相等的质数p和q 计算n =p q 。
2.计算phi =（p-1） （q-1） 。
3.选取任意的e ， 使得e满足1ephi 且 gcd(e,phi) ==1 .
4.计算e关于phi的模逆元d，即d满足（e*d）%phi ==1.
5.加解密：c=(m^e)%n ,m =(c^d)%n.其中m为明文，c为密文 （n,e）为公钥，d为私钥，要求0=mn.
求模逆可直接利用gmpy2库 。如 import gmpy2 print gmpy2.invert(47,30) 可求得47模30的逆为23 。
扩展欧几里得算法基于欧几里得算法，能够求出使得 ax by=gcd(a,b) 的一组x,y 。
常见攻击方式实践
准备工具
python gmpy2库 libnum库
yafu
RSATool2v17.exe
RSA解密
若已知私钥d，则可以直接解密：m=pow(c,d,n).
若已知质数p和q,则通过依次计算欧拉函数值phi、私钥d可解密 。简易实现如下：
在选取加密指数e时要求phi，e互质，也就是gcd(phi,e)==1，如果不满足是无法直接解密的 。
SCTF2018的Crypto - a number problem ， 题目是： x**33=1926041757553905692219721422025224638913707 mod 3436415358139016629092568198745009225773259 tell me the smallest answer of x
其中n=3436415358139016629092568198745009225773259 可以直接分解得到p,q，出phi=(p-1)*(q-1) ，然后惊奇地发现gcd(phi,33)==3。这时如果对加密过程比较熟悉的话，就可以想到实际上公钥e=11，明文是m=x^3 ， 应该先求出m 。然后再爆破x 。
n2，n3已知，利用共模攻击得到n1，由gcd(n1,n2)==p1 分解n1，n2，就可解密得到两部分msg，拼接即可 。
小明文攻击
适用情况：e较小 ， 一般为3 。
公钥e很小，明文m也不大的话，于是 m^e=k*n m中的的k值很小甚至为0，爆破k或直接开三次方即可 。Python实现：
例子：Extremely hard RSA
题目提供的n是4096位的，e=3 。
Rabin加密中的N可被分解
适用情况：e==2
Rabin加密是RSA的衍生算法 ， e==2是Rabin加密典型特征，可以百度或阅读以了解到详细的说明 ， 这里只关注解密方法 。一般先通过其他方法分解得到p，q ， 然后解密 。
Python实现：
函数返回四个数，这其中只有一个是我们想要的明文，需要通过其他方式验证，当然CTF中显然就是flag字眼了 。
Wiener’s Attack
适用情况：e过大或过小 。
工具：
在e过大或过小的情况下，可使用算法从e中快速推断出d的值 。详细的算法原理可以阅读： 低解密指数攻击。
例子：2018强网杯nextrsa-Level2
**私钥文件修复
适用情况：提供破损的私钥文件 。**
参考修复存储私钥的文件，得到p和q 。
**私钥修复
Python 脚本：**
从缺失的私钥中，我们可以分析出各部分数据代表的数字 。
改动原脚本中的各部分内容即可恢复出私钥，大致算法为：
**LSB Oracle Attack
适用情况：可以选择密文并泄露最低位 。**
在一次RSA加密中，明文为m，模数为n，加密指数为e，密文为c 。我们可以构造出 c'=((2^e)*c)%n=((2^e)*(m^e))%n=((2*m)^e)%n，因为m的两倍可能大于n ， 所以经过解密得到的明文是m'=(2*m)%n。我们还能够知道m'的最低位 lsb是1还是0 。因为n是奇数，而 2*m是偶数 ， 所以如果 lsb是0，说明 (2*m)%n是偶数，没有超过n，即 mn/2.0，反之则 mn/2.0。举个例子就能明白 2%3=2是偶数 ， 而 4%3=1是奇数 。以此类推，构造密文 c"=(4^e)*c)%n使其解密后为 m"=(4*m)%n，判断 m"的奇偶性可以知道 m和n/4的大小关系 。所以我们就有了一个二分算法，可以在对数时间内将m的范围逼近到一个足够狭窄的空间 。
更多信息可参考： RSA Least-Significant-Bit Oracle Attack和RSA least significant bit oracle attack。
Python实现：
【实现欧拉函数python的简单介绍】关于实现欧拉函数python和的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站 。

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