狄拉克δ函数8.1.1Δ 函数的定义
我们知道 ， 一般函数的定义是对于自变量x的每一个值，都有特定函数值f（x）与之对应，f（x）称为在点x处的函数值 。然而，这里我们要讨论的δ函数不是这种通常意义下的函数 ， 因为它没有通常意义下的“函数值”；它的运算作用只有出现在积分号里才能体现出来，它是某种复杂极限过程的简化符号，是广义函数的一种 。
所谓狄拉克δ函数是这样一个算符δ（x），它使得对任何在x=0点连续的函数f（x），有下式成立：
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为理解δ（x），对h＞0引进如下函数序列
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由积分中值定理可知 ， 存在ξ且｜ξ｜＜
， 使得有
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于是得到：
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由此可以直观地知道，由严格的理论也可以证明，δ（x）是δh（x）在某种意义下的极限 。因为
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故可将δ（x）粗糙地理解为满足
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及
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的一个较通常函数意义更广的“函数” ， （8.1.3）式是（8.1.1）式令f≡1而得到的 。
物理上常用δ函数来描述集中分布的量，如集中质量、集中电荷等，设在x轴上有一单位质量集中在原点 ， 用δ（x）表示密度分布函数 ， 则在x≠0时 ， δ（x）=0 。如果取δ（x）=C为有限常数 ， δ（x）便是一个通常意义下的分段连续函数，按照一般的积分计算有
δ（x）dx=0，即总质量为零，这与假设直线上具有单位质量相矛盾 。故不能取δ（0）等于有限常数 。事实上，若在x轴上取Δl为包含原点的区间段，ΔM为该段总的质量，则密度应为：
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由此可见，这里引入δ函数恰好描述了集中质量问题 。在电法勘探问题中，δ函数就恰好描述点源的电荷（或电流）密度 。
上面我们定义了一维且奇点在x=0处的δ函数，对n维且奇点在任意点（
、
，…，
）的δ函数可类似地定义，即它是这样一个算符δ（x1-
）δ（x2-
）…δ（xn-
），使得对任何在点（
，
，…，
）连续的函数f（x1 ， x2，…，xn），有
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成立，特别当取n=1，x1=x ，
=0时 ， 则得到（8.1.1）式 。实际上n维δ函数可写成n个一维δ函数的乘积的形式 。同样它还应满足：
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及
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本书中只涉及二维或三维的δ函数 。
对于一个有限的研究域 ， 关于δ函数，我们还能给出下面常用结果，例如以二维情况为例：
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式中D为一个二维区域，f（x1，x2）在（
，
）处连续，在第二个等式中，要求D的边界Γ在奇点（
，
）附近是光滑的 ， 特殊情况，当f=1时，可得：
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现在给出（8.1.7）式的一个直观证明，当x0=（
，
）在D外，由（8.1.5）式知δ在D及其边界上恒为零，这时（8.1.7）式左部可理解为零函数在通常意义下的积分，其积分值为零 ， 当x0在D内时，这时δ在D的边界和外部恒为零，于是在这些部分的积分也为零，故
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图8.1 D∩B的二维几何表示
从而由（8.1.4）式可知（8.1.7）式中第三等式成立，对于奇点x0在区域边界Γ的情况，令B（x0，ε）是以x0为圆心、ε为半径的开圆（在一维情况是开区间 ， 三维情况下是不含球面的球体，n维情况下为n维开球），注意到δ在B（x0，ε）的外部和边界上为零，知
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式中D∩B表示D域和B圆重合的部分，即图8.1中阴影部分，另外有
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因为Γ在x0附近光滑，故当ε趋于零时，D∩B域趋于半圆，这样，由以上两式有
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这便是（8.1.7）式中的第二等式 。
8.1.2Δ 函数的性质及其傅氏变换
对于一维情况，给出δ函数的一些常用性质及其傅氏变换，均设f（x）在奇点处连续 。由（8.1.7）式有
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另外 ， 设α1、α2为常数 ， δ函数对加法运算是线性的 。
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对于任何在x0处连续的函数f（x），有
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上式称为δ函数的筛选性质 。由于
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可知
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由于
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故有
δ（x）f（x）=δ（x）f（0） （8.1.14）
或同样
δ（x-x0）f（x）=δ（x-x0）f（x0） （8.1.15）
如果（8.1.14）式中取f（x）=x ， 得
xδ（x）=0 （8.1.16）
若取f（x）在区间（-∞，α）（α为正数）外等于零，那么f（0）=0 ， 于是
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由此推知
δ（x）=0 x ＜ 0 （8.1.17）
同理可得
δ（x）=0 x＞0 （8.1.18）
这便是（8.1.2）式的由来 。
两个δ函数的褶积由下式确定 。
【狄拉克函数python 狄拉克函数筛选性质证明】地球物理数据处理教程
于是
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下面我们给出δ函数的傅氏变换，根据δ函数的定义（8.1.1）式有
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反过来，数学上可以证明
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即是说δ（x）与1组成傅氏变换对 ， 由（8.1.10）式设f（x）=cosωx，可得δ的余弦变换为
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python sympy怎样把狄克拉函数定义出来from sympy import DiracDelta
即导入狄拉克函数python了狄拉克函数，可以送入一个变量求解，如狄拉克函数python：
DiracDelta(2)
输出0 。
什么是狄拉克函数有时也说单位脉冲函数 。通常用δ表示 。在概念上狄拉克函数python，它是这么一个“函数”：在除了零以外狄拉克函数python的点都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1 。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的 。
狄拉克函数性质狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1 。
狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1 。
物理学中常常要研究一个物理量在空间或时间中分布的密度 ， 例如质量密度、电荷密度、每单位时间传递的动量（即力）等等 ， 但是物理学中又常用到质点、点电荷、瞬时力等抽象模型，他们不是连续分布于空间或时间中 ， 而是集中在空间中的某一点或者时间中的某一瞬时，那么它们的密度应该如何表示呢？
严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的 。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解 。在实际应用中 ， δ函数总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用 。
一些函数可以认为是狄拉克δ函数的近似 ， 但是要注意，这些函数都是通过极限构造的 ， 因此严格上都不是狄拉克δ函数本身，不过在一些数学计算中可以作为狄拉克δ函数进行计算 。
狄拉克δ函数有以下性质 ，在理解这些性质的时候，应该认为等式两边分别作为被积函数的因子时得到的结果相等 。
对称性
偶函数，其导数是奇函数
放缩
放缩（或相似性）
挑选性
这种性质称为挑选性 ， 它将 在 点的值 挑选出来
上述性质则可看成适用于高阶导数的挑选性 。
关于狄拉克函数python和狄拉克函数筛选性质证明的介绍到此就结束了，不知道你从中找到你需要的信息了吗 ？如果你还想了解更多这方面的信息，记得收藏关注本站 。
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