分享一个简单但挺有意思的算法题2-贪心-单调栈-动态规划

1. 题目描述 LeetCode 122.买卖股票的最佳时机 II

在每一天,你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候最多只能持有一股股票。你也可以先购买,然后在同一天出售。返回你能获得的最大利润 。
示例 :
*输入:prices = [7,1,5,3,6,4]

输出:7

解释:在第 2 天(股票价格 = 1)的时候买入,在第 3 天(股票价格 = 5)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。

随后,在第 4 天(股票价格 = 3)的时候买入,在第 5 天(股票价格 = 6)的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。*
【分享一个简单但挺有意思的算法题2-贪心-单调栈-动态规划】这道题常见且并不难,有意思的是解法也非常多,尤其适合入门级别的单调栈和动态规划
2. 贪心算法 这是最容易想到的解法,因为交易次数不受限,只需要在股价的每个上坡底部买入,坡顶卖出,则一定是利益最大化的
function maxProfit(prices){ let ans = 0; for (let i = 0; i < prices.length - 1; i++) { if (prices[i + 1] > prices[i]) {// 在上坡过程中,【每天都交易】和【底部买入,坡顶卖出】是完全等效的(忽略手续费) ans += (prices[i + 1] - prices[i]); } } return ans }

3. 单调栈 单调栈顾名思义是单调递增/减的一种栈结构,股价的上坡在数据结构上的表示,其实就是一个递增的单调栈,我们只要依次找到所有的上坡,此时栈顶减去栈底,则是单次上坡的最大利润
function maxProfit(prices){ //这里只末尾+0就够了 prices.push(0) //前后+0,是单调栈很常见的处理措施,确保起止元素一定能形成首个坡,终止末个的坡 let ans = 0 let stack = []for (let i = 0; i < prices.length; i++) { //stack[stack.length - 1] 单调栈栈顶,即本次上坡最大值 if(stack.length > 0 && prices[i] < stack[stack.length - 1]){ //栈顶 let top= stack[stack.length - 1] //栈底 let bottom = stack[0] ans += top - bottom stack = []//清栈 } stack.push(prices[i]) } return ans }

这里主要讲单调栈,所以保留了栈结构,实际本题比较简单,只需记录栈顶栈底即可
简化后:
function maxProfit(prices){ prices.push(0) let ans= 0 let top= prices[0] let bottom = prices[0]for (let i = 0; i < prices.length; i++) { if(prices[i] >= top){ top = prices[i] }else{ ans += top - bottom top = bottom = prices[i] } } return ans }

本题是单调栈最基础的应用,复杂点的比如接雨水,柱状图中最大的矩形,都是单调栈的应用场景,总之,单调栈是一个强大有趣的数据结构。
4. 动态规划 不难得出每日只有持仓空仓两种状态:

对于今日持仓状态,今天账号的最大余额为【昨日持仓】和【昨日空仓 - 今日股价】(买入所以扣钱)中的较大值

对于今日空仓状态,今天账号的最大余额为【昨日空仓】和【昨日持仓 + 今日股价】(卖出所以加钱)中的较大值

最后一天平仓,即空仓状态下账号余额就是最大收益
得到状态转移方程:
$$对于持仓状态 f(i)_持 = max( f(i-1)_持, + f(i-1)_空 - price[i] )$$

$$对于空仓状态 f(i)_空 = max( f(i-1)_空, + f(i-1)_持 + price[i] )$$
function maxProfit(prices){ //最初始的状态 let dp = [] dp.push( { 'positon':-prices[0],//持仓 'short_positon':0//空仓 } ) for (let i = 1; i < prices.length; i++) { let status = { //本次选择持仓,则账户最大金额为max(昨天持仓,昨天空仓-今日股价) 'positon':Math.max(dp[i-1].positon, dp[i-1].short_positon - prices[i]), //本次选择空仓,则账户最大金额为max(昨天空仓,昨天持仓+今日股价) 'short_positon': Math.max(dp[i-1].short_positon, dp[i-1].positon + prices[i]) } } return dp[prices.length-1].short_positon }

由于只用得到昨日的数据,故而不用储存每日的持仓状态,只需要记录昨天即可,
简化后:
function maxProfit(prices){ //最初始的状态 let positon= -prices[0] //持仓 let short_positon = 0 //空仓for (let i = 1; i < prices.length; i++) { let new_positon= Math.max(positon, short_positon - prices[i]) let new_short_positon = Math.max(short_positon, positon + prices[i]) positon= new_positon short_positon= new_short_positon } return short_positon }

动态规划是一个强大有趣的算法。

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