中值定理证明题200题如何多次应用柯西中值定理，柯西中值定理几何图解 _睿知

如何运用柯西中值定理？
虽然柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，但是你可以发现，它们都可以用罗尔定理独立证明，只是辅助函数不同而已。其实很明显罗尔定理可以从拉格朗日中值定理推导出来。可以归纳为：罗尔定理柯西中值定理拉格朗日中值定理罗尔定理。所以两者在逻辑上是等价的，只是解决问题的简化和复杂程度不同。你要相信柯西中值定理能解决的问题，罗尔定理也能解决，只是思路可能更复杂。例如，让b& gta& gt0，f(x)在[a，b]中连续且(a，b)可导，证明存在c(a，b)，使得2c[f(b)-f(a)]=(b^ 2-a^ 2)f.证明：参考柯西中值定理的标准形式设g(x)=x^ 2 。请注意，B& gt；A& gt0保证或证明G” (x)=2x0，B2-A20 。当然，上面的问题很简单(就是直接设置公式) 。也可以用构造函数f(x)=(b2-a2) f(x)-[f(b)-f(a)] x2来证明。这时f(a)=f(a) b2-f(b) a2=h(b)，那么由罗尔定理证明c(a，b)的存在性使得h”(c)=0，这是要证明的。这个解只是柯西中值定理的应用。公式的作用是节省人们思考或计算的时间，但要熟练运用公式。最重要的是观察。像上面这个简单的例子，很容易看出一个存在性问题的线索。关键在于观察哪个东西和公式中的g(x)相似(见g(x)和g’(x)) 。常见的函数，比如lnx，e(x)，甚至e(h(x)) 。另外，在一些不等式问题的中间过程中有可能用到柯西中值定理(然后在一定程度上进行缩放)，这是你能想到的。至于你说的极值问题，我不知道是什么意思。微分中值定理(拉格朗日、柯西)对一元微分学体系的发展和完善具有重要意义，其意义是理论性的。通常题目只考察公式的变形和使用。两个字，观察和熟练。我想看一下【用柯西中值定理证明洛必达定律】的过程会对你有帮助。我觉得这是柯西中值定理除了几何解释之外的另一个精彩之处。

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柯西中值定理的应用
如果函数在某个区间内单调递增(或递减)，那么函数图上切线的斜率在这个区间内都是正的(或负的)，即函数的导数在这个区间内都是正的(或负的) 。所以我们可以通过判断函数的正导数或负导数来判断函数的增减。1设f(0)=0，f(x)在(0，)上单调递增。证明了f(x)x在(0，)上单调递增。通过证明柯西中值定理，可以得出f(x)x=f(x)-f(0)x-0=f()1=f()，0；0 。这样就可以证明f(x)x在(0，)上单调递增。柯西中值定理的一个极其重要的应用是可以用来计算不定形极限。两个无穷量或两个无穷量之比的极限统称为无穷极限，分别为00，，0/；0-、-和不定式。仔细观察柯西中值定理的表达式形式，可以看出，在移动条件下，两个函数表达式的比值可以转化为两个函数导数的比值，这样就有可能使无格式分数的分子和分母所表示的函数。我们将以微分中值定理为理论基础，建立一种简单有效的用导数求未成形极限的方法。我们得到如下定理：两个函数之和在开区间内可微，在此开区间内的导数不等于0；有一个极限，这里a是一个有限常数。那么在以下情况下：and或。然后就是：相反，在间隔的另一端存在类似的结果。这个定理叫做罗比塔定律，它可以有效地应用于不定形极限的计算。罗比塔法则可应用于七种不定型极限计算，但基本不定型的只有两种：00和。00和我们都知道，这里就不介绍了。其他未成形的形态可以改成这两种形态：0；型。通过恒等式：f(x) g(x)=f(x) 1g(x)得出00或的两种基本形式。-型。通过恒等式：f(x)-g(x)=1g(x)-1f(x)1f(x)1g(x)得出00型。00， 0，1 型。通过恒等式，我们得到00；0-，-，00，0，1型。进一步转化为00或。对于未定型的两种基本形式，直接套用洛必达法则就够了，即表示为。很明显，此时的条件是F(x)，G(x)都存在，G(x)0 。另一个不明显，所以初学者常犯的错误，就是要求f(x)和g(x)同时限于0或的情况。在实际做题的时候，一定要注意随时验证这三个条件，否则一定会出错。例子证明limx0 x1-ex=-1 。设t=x，当x0有t0时，我们可以得到：limx0x1-ex=limx0 t1-et=limx01-et=-1 。3设f(x)在开区间(a，b)上二次可微，证明任意x，x0(a，b)有(x，x0)，使得f(x)=f(x0) f” (x0) (x从证明题来看，我们只需要证明xx0 。设，通过求导可以得到f(x)=f(x)-f(x0)，g(x)=x-x0 。因为F(x0)=G(x0)=0，段很羡慕
F′（x0)=G′（x0)=0两次应用到柯西中值定理，可以得到：f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0)12(x-x0)2=F(x)G(x)=F(x)-F(x0)G(x)-G(x0)=F′（η）G′（η）=F′（η）-F′（x0)G′（η）-G′（x0)=F″（ξ）G″（ξ）=F″（ξ）。其中η∈（x，x0），ξ∈（x0，η），则f(x)=f(x0)+f′（x0)(x-x0)+12f″（ξ）（x-x0)2得到证明。故命题得证。⑴证明中值点的存在性例4设函数f在区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则?ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)=ξlnbaf′（ξ）。证明设g(x)=lnx，显然它在[a，b]上与f一起满足柯西中值定理的条件，于是存在ξ∈（a，b），使得f(b)-f(a)lnb-lna=f′（ξ）1ξ，即存在ξ∈（a，b）使得f(b)-f(a)=ξf′咐燃凯（ξ）lnba 。⑵证明恒等式例5 证明：证明令，则，由于f(x）在[0，1]连续，所以f(x）≡f(0)=π/2 。
求柯西中值定理的推导过程柯西中值定理最主要的应用是证明带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，只要反复使用柯西中值定理多次就能证明；柯西中值定理粗略地表明，对于两个端点之间的给定平面弧，至少有一个点，使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。柯西中值定理其几何意义为，用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式，主要应用于证明等式、不等式、求极限等。柯西中值定理比罗尔(Rolle) 定理与拉格朗日(Lagrange) 中值定理更具一般性，也具有更广泛的应用性，但大多高等数学的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则；在满足一定条件下可以化成两个函数的导数的比值极限，这样就有可能使得原待定型变成简便而有效的求非待定型极限的问题。

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柯西中值定理怎么用？你观察它们的最常丛亮拍见证明方法可以发现，它们都可以通过Rolle定理独立证明，不过是构造的辅助函数不同而已。而事实上，用Lagrange中值定理显然可以渗羡推出Rolle定理。可以归结出这样的推导关系：Rolle定理→Cauchy中值定理（Lagrange中值定理）→Lagrange中值定理→Rolle定理。因此它们在逻键旦辑上是等价的，不过用于解决问题时的简繁程度不同。你要相信，所有用Cauchy中值定理可
柯西中值定理柯西中值定理的证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必李皮为常函数，结论显然成立。若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理推知：f”(ξ)=0 。另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，孙扰森由可导条件知，f”(ξ+)=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。扩展则亩资料：范例解析用罗尔中值定理证明：方程3在 (0,1) 内有实根。证明：设则 F(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，，所以由罗尔中值定理，至少存在一点，使得，所以，所以ξ是方程在 (0,1) 内的一个实根。结论得证。