神奇的走马灯数 142857

现在的小朋友,能看到走马灯实物的机会恐怕不多了。
走马灯是我国传统节日装饰玩具之一,常见于元宵中秋等传统节日。灯内点上蜡烛,燃烧产生的热力造成气流,带动轮轴转动。烛光将灯壁布置的剪纸图案投射出来,造成影像不断旋转移动的效果。
古代的走马灯,灯壁各面习惯绘制古代武将骑马作战的图案,动态转动时视觉效果仿佛几位武将你追我赶一样,故得名为走马灯。
神奇的走马灯数 142857
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我们假设有一盏具有 6 个面的走马灯,六个面依次标注上 1 4 2 8 5 7 六个数,这六个数构成了所谓的走马灯数。网上有一种说法,这个数字最早见于一座埃及金字塔内部。
神奇的走马灯数 142857
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这个数有一些神奇的规律,本文记录如下。
首先它是一个质数,142857 = 3 × 3 × 3 × 11 × 13 × 37
将这个数分别与 1 ~6 相乘,所得乘积,仍然由 1 4 2 8 5 7 六位数字组成。
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
神奇的走马灯数 142857
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并且乘积满足这样的规律,最高位的数字,就是以乘数为索引值,在 [1,4,2,8,5,7] 这个整数数组进行排序后的新数组 [1,2,4,5,7,8] 里摘取的对应元素,假设数组索引以 1 开头。
例如 5 × 142857,乘数是 5,在数组 [1,2,4,5,7,8] 的第 5 个元素是 7,那么积的最高位是 7,然后将剩下的走马灯数位 1 4 2 8 5 补全即可。
而 7 × 142857 = 999999,因此有些人戏称,走马灯数 142857 与 1~6 的乘积,代表星期一到星期六轮流值班,而与 7 的乘积 999999,代表星期日也就是休息日。
上述乘法算式,可以转换成下列的加法算式,完全等价:
142857 + 142857 = 285714
285714 + 142857 = 428571
428571 + 142857 = 571428
571428 + 142857 = 714285
714285 + 142857 = 857142
857142 + 142857 = 999999
既然一个星期只有 7 天,那么乘数超过 7 会如何?
142857 × 8 = 1142856(数字 7 分身,即分为头一个数字 1 与尾数 6,然后再数列内去掉 7)
按照这个规律进行下去,同理可得:
142857 × 9 = 1285713(4 分身)
142857 × 10 = 1428570(1 分身)
142857 × 11 = 1571427(8 分身)
142857 × 12 = 1714284(5 分身)
142857 × 13 = 1857141(2 分身)
142857 × 14 = 1999998(9 分身)
这里应该挑选哪一个数进行分身?假设乘数为 n,则需要分身的数,等于 7 × n 的积的个位 + 1.
142857 与 9 还有一些神奇的渊源。
142 + 857 = 999
14 + 28 + 57 = 99
【神奇的走马灯数 142857】1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 27,而 2 + 7 = 9
这是不是暗示了中国传统文化里所说的九九归一?
142857 乘以含 7 的任意数字,积的各个数字之和等于36,例如:
142857 × 17 = 2428569 -> 2 + 4 + 2 + 8 + 5 + 6 + 9 = 36
142857 × 27 = 3857139 -> 3 + 8 + 5 + 7 + 1 + 3 + 9 = 36
142857 × 37 = 5285709 -> 5 + 2 + 8 + 5 + 7 + 0 + 9 = 36
142857 × 47 = 6714279 -> 6 + 7 + 1 + 4 + 2 + 7 + 9 = 36
...
142857 * 717 = 102428469 -> 1 + 0 + 2 + 4 + 2 + 8 + 4 + 6 + 9 = 36
我们再来看除法。
用 1~6 数字除以 7,得到的无限循环小数,其循环节仍然是有规律的走马灯数。
神奇的走马灯数 142857
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对走马灯数这些规律的证明已经超出了小学数学的范畴,本文略过。
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