基本初等函数的图像与性质初等函数 _生活知识

初等函数（基本初等函数的图像与性质）
在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。
一、常数函数
y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。它的图像是通过点（0，c），且平行 x 轴的直线，如下图所示：
常数函数的图像
常数函数的性质：
1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；
2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。
二、幂函数
1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数。

文章插图
幂函数图（1）
2、常见幂函数的图像：
幂函数图（2）
注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。
3、幂函数的性质：
① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点。
② 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点（1,1）。
③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点（0,0）和（1,1），在第一象限内递增；
若 a < 0 ，幂函数图像只经过点（1,1），在第一象限内递减。
三、指数函数
【基本初等函数的图像与性质初等函数】1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做指数函数，自变量 x 叫做指数，a 叫做底数，函数的定义域是 R。
2、指数函数的图像：

文章插图
指数函数图象
3、指数函数的性质：
① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；
② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点（0,1）；
③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增，指数函数 y = a^x （0 < a < 1）在 R 上递减。
四、对数函数
1、对数及其运算：
一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数；
记作：logaN = b , 其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数。
根据对数定义可知：
① 零和负数没有对数，真数大于零；② 1 的对数为 0 ，即 loga1 = 0 ；
③ 底的对数等于 1 ，即 logaa = 1 ；④ 对数恒等式：a^(logaN) = N 成立。
通常以 10 为底的对数叫做常用对数，常用对数 log10N 简记作 lgN；
以无理数 e = 2.71828 ... 为底的对数叫做自然对数，自然对数 logeN 简记作 lnN。
对数运算性质：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 , 那么：
对数运算性质图
2、对数函数：
一般地，对数函数 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）就是指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的反函数。
因为指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的值域是（0，+∞），
所以对数函数 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的定义域是（0，+∞）。
3、对数函数的图像：

文章插图
对数函数的图像
4、对数函数 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的性质：
① 对数函数 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的图像都在 y 轴的右侧，定义域是（0，+∞），值域是 R ；
② 对数函数 y = logax （a > 0 且 a ≠ 1）的图像都经过点（1，0）；
③ 对数函数 y = logax （a > 1）：当 x > 1 时，y > 0 ；当 0 < x < 1 时，y < 0 ；
对数函数 y = logax （0 < a1 时，y < 0 ；当 0 < x0。
④ 对数函数 y = logax （a > 1）在（0.+∞）上是增函数，
对数函数 y = logax （0 < a < 1）在（0.+∞）上是减函数。
五、三角函数与反三角函数
1、三角函数：y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x ;
2、反三角函数： y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x。
3、三角函数的图像：
三角函数图像（1）