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扩展欧几里德算法详解（通解推导过程）

数论

先介绍什么叫做欧几里德算法（辗转相除法）
有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的na?ve ，那怎么做？
欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：

#include #include #include using namespace std; int gcd(int a,int b) { if(b==0)return a; else gcd(b,(a%b)); } int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); printf("gcd=%d\n",gcd(n,m)); printf("lcm=%d\n",n*m/gcd(n,m)); return 0; }




由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？
现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：
x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t
通解推导过程：ax + by = gcd(a,b) ①
ax0 + by0 = gcd(a,b) ②
①﹣②:a(x-x0)+b(y-y0)=0
a(x-x0)=b(y0-y)
将两边同除以gcd(a,b),得 a/gcd(a,b)与b/gcd(a,b)互质，
所以 a/gcd(a,b)（x-x0）=b/gcd(a,b)（y0-y）
所以 x-x0=b/gcd(a,b) *t；y0-y=a/gcd(a,b)*t
所以 x=x0+b/gcd(a,b)*t
y=y0-a/gcd(a,b)*t


扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写


int gcd(int a,int b) { int t,d; if(b==0) { x=1; y=0; //不明处1 return a; } d=gcd(b,a%b); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y; //不明处2 return d; }


上面的程序中,x和y我是用全局变量保存的
我个人觉得第一次看到这个程序你会有以上两个不明白的地方（见注释），下面我分别解释
不明处1：由扩展欧几里得定理：ax+by==gcd(a,b)---式1，而此时b==0，也就是说gcd(a,0)==a。原式变为ax+by==a --> x==1,y==0。应该够清楚了吧
【扩展欧几里德算法详解（通解推导过程）】 不明处2：这里先说明一下我的一些规则，x,y表示第一次递归时的值，x1,y1表示第二次递归时的值。那么
gcd(a,b)==gcd(b,a%b)，同时都代入式1，有ax+by==b*x1+(a%b)*y1。将右边变形一下
b*x1+(a%b)*y1==b*x1+(a-(a/b)*b)*y1==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)，最终得到ax+by==a*y1+b*(x1-(a/b)*y1)
也就是说，上一深度的x等于下一深度的y1，上一深度的y等于下一深度的x1-(a/b)*y1。需要注意，上面推导时用的除法都是整型除法

到这里为止，我们便得到了不定式ax+by==gcd(a,b)的一组解，x、y。
那么对于一般的不定式ax+by==c，它的解应该是什么呢。很简单，x1=x*(c/gcd(a,b)),y1=y*(c/gcd(a,b))。




依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。
这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y
扩展欧几里德有什么用处呢？
扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：
（1）求解不定方程；
（2）求解模线性方程（线性同余方程）；
（3）求解模的逆元；

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：
对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。
上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：
p = p0 + b/Gcd(p, q) * t
q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。
在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，
p * a+q * b = c的其他整数解满足：
p = p1 + b/Gcd(a, b) * t
q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)
p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。
相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;
代码如下：

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y) { int d=exgcd(a,b,x,y); if(c%d) return false; int k=c/d; x*=k; y*=k; //求得的只是其中一组解 return true; }


(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。
所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
设ans=x*(b/d),s=n/d;
方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
相关证明：
证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;
由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)
a*x0 = d (b/d) (mod n)(由于 ax' = d (mod n))
= b (mod n)

证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)(mod n);
由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)
= (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)
= a * x0 (mod n)(由于 d | a)
= b

首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
代码如下：
bool modular_linear_equation(int a,int b,int n) { int x,y,x0,i; int d=exgcd(a,n,x,y); if(b%d) return false; x0=x*(b/d)%n; //特解 for(i=1; i



（3）用欧几里德算法求模的逆元：
同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。
在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。
这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。
对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程
ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。








求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元
什么叫乘法逆元？
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这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1
看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0
接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + m*t 吗？
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。
可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
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还有最小整数解之类的问题，但都是大同小异，只要细心的推一推就出来了，这里就不一一介绍了，下面给一些题目还有AC代码，仅供参考
ZOJ 3609 ：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4712 求最小逆元

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define INF 0x7fffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 1000000007 #define PI 3.141592653579798 #define N 100000using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; }LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; x*=c/gcd; b/=gcd; if(b<0) b=-b; LL ans=x%b; if(ans<=0) ans+=b; return ans; }int main() { LL a,b,t; scanf("%lld",&t); while(t--) { scanf("%lld%lld",&a,&b); LL ans=cal(a,b,1); if(ans==-1) printf("Not Exist\n"); else printf("%lld\n",ans); } return 0; }


ZOJ 3593 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3593 求最小的步数，处理特殊一点就过去了

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define INF 0x7fffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 100000007 #define PI 3.14159265357979823846 #define N 100005using namespace std; typedef long long LL; LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; } LL cal(LL a,LL b,LL L) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(L%gcd!=0) return -1; x*=L/gcd; y*=L/gcd; a/=gcd; b/=gcd; LL ans=((LL)INF)*((LL)INF), f; LL mid=(y-x)/(a+b); for(LL T=mid-1; T<=mid+1; T++) { if(abs(x+b*T)+abs(y-a*T)==abs(x+b*T+y-a*T)) f=max(abs(x+b*T),abs(y-a*T)); else f=fabs(x-y+(a+b)*T); ans=min(ans,f); } return ans; }int main() { //freopen("in.in","r",stdin); //freopen("out.out","w",stdout); LL A,B,a,b,x,y; int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lld%lld%lld%lld",&A,&B,&a,&b); LL L=B-A; LL ans=cal(a,b,L); if(ans==-1) printf("-1\n"); else printf("%lld\n",ans); } return 0; }


POJ 1061http://poj.org/problem?id=1061 青蛙的约会，裸的扩展欧几里得


#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define INF 0x7fffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 1000000007 #define PI 3.141592653579798 #define N 100000using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; }LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; x*=c/gcd; b/=gcd; if(b<0) b=-b; LL ans=x%b; if(ans<=0) ans+=b; return ans; }int main() { LL x,y,m,n,L; while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF) { LL ans=cal(m-n,L,y-x); if(ans==-1) printf("Impossible\n"); else printf("%lld\n",ans); } return 0; }


HDU 1576http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1576 做点处理即可


#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define INF 0x7fffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 1000000007 #define PI 3.141592653579798 #define N 100000using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; }LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; x*=c/gcd; b/=gcd; if(b<0) b=-b; LL ans=x%b; if(ans<=0) ans+=b; return ans; }int main() { LL n,b,t; scanf("%I64d",&t); while(t--) { scanf("%I64d%I64d",&n,&b); LL ans=cal(b,9973,n); if(ans==-1) printf("Impossible\n"); else printf("%lld\n",ans); } return 0; }


HDU 2669http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2669 裸的扩展欧几里得


#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define INF 0x7fffffff #define EPS 1e-12 #define MOD 1000000007 #define PI 3.141592653579798 #define N 100000using namespace std; typedef long long LL; typedef double DB; LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) { if(b==0) { x=1; y=0; return a; } LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y); LL temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; return ans; }LL cal(LL a,LL b,LL c) { LL x,y; LL gcd=e_gcd(a,b,x,y); if(c%gcd!=0) return -1; x*=c/gcd; b/=gcd; if(b<0) b=-b; LL ans=x%b; if(ans<=0) ans+=b; return ans; }int main() { LL a,b; while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF) { LL ans=cal(a,b,1); if(ans==-1) printf("sorry\n"); else printf("%I64d %I64d\n",ans,(1-ans*a)/b); } return 0; }




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