#|算法设计与分析（Java实现）—— 动态规划（0-1 背包问题）算法|java|动态规划|数构+算法

1、动态规划算法介绍

1)动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2)动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3)与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4)动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

2、最佳实践-背包问题

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3、思路

1)背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分 0-1 背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
2)这里的问题属于 01 背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为 01 背包。
3）算法的主要思想，利用动态规划来解决。
每次遍历到的第 i 个物品，根据 w[i]和 v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。
即对于给定的 n 个物品，设 v[i]、w[i]分别为第 i 个物品的价值和重量，C 为背包的容量。再令 v[i][j] 表示在前 i 个物品中能够装入容量为 j 的背包中的最大价值。则我们有下面的结果

(1)v[i][0]=v[0][j]=0; //表示填入表第一行和第一列是 0

(2)当 w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j] // 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略

(3) 当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}
// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
// 装入的方式:
v[i-1][j]：就是上一个单元格的装入的最大值
v[i] : 表示当前商品的价值
v[i-1][j-w[i]] ：装入 i-1 商品，到剩余空间 j-w[i]的最大值当 j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :

PS：这边得仔细看看（2）（3），状态转移方程的所在
4、图解分析

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解读：二维表中，每次到新的一行，每次往右移动一列，都是要进入状态转移方程进行决策，当新加入的物品重量没有超过背包容量，就先加入，后面加上剩余空间的最大价值与二维表的上一格进行比较，取较大值。经过这样子叠加决策，每次都是选择比较合理和正确的加入背包，最后完成。
5、伪代码

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时间复杂度

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6、Java代码实现动态规划0-1背包问题

public class KnapsackProblem {public static void main(String[] args) { int[] w = {1, 4, 3}; //物品的重量 int[] val = {1500, 3000, 2000}; //物品的价值这里val[i] 就是前面讲的v[i] int m = 4; //背包的容量 int n = val.length; //物品的个数//创建二维数组， //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值 int[][] v = new int[n+1][m+1]; //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组 int[][] path = new int[n+1][m+1]; //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0 for(int i = 0; i < v.length; i++) { v[i][0] = 0; //将第一列设置为0 } for(int i=0; i < v[0].length; i++) { v[0][i] = 0; //将第一行设置0 }//根据前面得到公式来动态规划处理 for(int i = 1; i < v.length; i++) { //不处理第一行 i是从1开始的 for(int j=1; j < v[0].length; j++) {//不处理第一列, j是从1开始的 //公式 if(w[i-1]> j) { // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1] v[i][j]=v[i-1][j]; } else { //说明: //因为我们的i 从1开始的，因此公式需要调整成 //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]); //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]); //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式 if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]; //把当前的情况记录到path 插眼 path[i][j] = 1; } else { v[i][j] = v[i - 1][j]; }} } }//输出一下v 看看目前的情况 for(int i =0; i < v.length; i++) { for(int j = 0; j < v[i].length; j++) { System.out.print(v[i][j] + " "); } System.out.println(); }System.out.println("============================"); //输出最后我们是放入的哪些商品 //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入// 回溯选择的商品 int i = path.length - 1; //行的最大下标 int j = path[0].length - 1; //列的最大下标 while(i > 0 && j > 0 ) { //从path的最后开始找 if(path[i][j] == 1) { System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i); j -= w[i-1]; //w[i-1] } i--; }}}

效果 【#|算法设计与分析（Java实现）—— 动态规划（0-1 背包问题）】