归并排序详解及应用

读完本文,你不仅学会了算法套路,还可以顺便去 LeetCode 上拿下如下题目:
912. 排序数组(中等)
315. 计算右侧小于当前元素的个数(困难)
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一直都有很多读者说,想让我用 框架思维 讲一讲基本的排序算法,我觉得确实得讲讲,毕竟学习任何东西都讲求一个融会贯通,只有对其本质进行比较深刻的理解,才能运用自如。
本文就先讲归并排序,给一套代码模板,然后讲讲它在算法问题中的应用。阅读本文前我希望你读过前文 手把手刷二叉树(纲领篇)。
我在 手把手刷二叉树(第一期) 讲二叉树的时候,提了一嘴归并排序,说归并排序就是二叉树的后序遍历,当时就有很多读者留言说醍醐灌顶。
知道为什么很多读者遇到递归相关的算法就觉得烧脑吗?因为还处在「看山是山,看水是水」的阶段。
就说归并排序吧,如果给你看代码,让你脑补一下归并排序的过程,你脑子里会出现什么场景?
这是一个数组排序算法,所以你脑补一个数组的 GIF,在那一个个交换元素?如果是这样的话,那格局就低了。
但如果你脑海中浮现出的是一棵二叉树,甚至浮现出二叉树后序遍历的场景,那格局就高了,大概率掌握了我经常强调的 框架思维,用这种抽象能力学习算法就省劲多了。
那么,归并排序明明就是一个数组算法,和二叉树有什么关系?接下来我就具体讲讲。
算法思路
就这么说吧,所有递归的算法,你甭管它是干什么的,本质上都是在遍历一棵(递归)树,然后在节点(前中后序位置)上执行代码,你要写递归算法,本质上就是要告诉每个节点需要做什么。
你看归并排序的代码框架:

// 定义:排序 nums[lo..hi] void sort(int[] nums, int lo, int hi) { if (lo == hi) { return; } int mid = (lo + hi) / 2; // 利用定义,排序 nums[lo..mid] sort(nums, lo, mid); // 利用定义,排序 nums[mid+1..hi] sort(nums, mid + 1, hi); /****** 后序位置 ******/ // 此时两部分子数组已经被排好序 // 合并两个有序数组,使 nums[lo..hi] 有序 merge(nums, lo, mid, hi); /*********************/ }// 将有序数组 nums[lo..mid] 和有序数组 nums[mid+1..hi] // 合并为有序数组 nums[lo..hi] void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi);

看这个框架,也就明白那句经典的总结:归并排序就是先把左半边数组排好序,再把右半边数组排好序,然后把两半数组合并。
上述代码和二叉树的后序遍历很像:
/* 二叉树遍历框架 */ void traverse(TreeNode root) { if (root == null) { return; } traverse(root.left); traverse(root.right); /****** 后序位置 ******/ print(root.val); /*********************/ }

再进一步,你联想一下求二叉树的最大深度的算法代码:
// 定义:输入根节点,返回这棵二叉树的最大深度 int maxDepth(TreeNode root) { if (root == null) { return 0; } // 利用定义,计算左右子树的最大深度 int leftMax = maxDepth(root.left); int rightMax = maxDepth(root.right); // 整棵树的最大深度等于左右子树的最大深度取最大值, // 然后再加上根节点自己 int res = Math.max(leftMax, rightMax) + 1; return res; }

是不是更像了?
前文 手把手刷二叉树(纲领篇) 说二叉树问题可以分为两类思路,一类是遍历一遍二叉树的思路,另一类是分解问题的思路,根据上述类比,显然归并排序利用的是分解问题的思路(分治算法)。
归并排序的过程可以在逻辑上抽象成一棵二叉树,树上的每个节点的值可以认为是 nums[lo..hi],叶子节点的值就是数组中的单个元素:
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然后,在每个节点的后序位置(左右子节点已经被排好序)的时候执行 merge 函数,合并两个子节点上的子数组:
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这个 merge 操作会在二叉树的每个节点上都执行一遍,执行顺序是二叉树后序遍历的顺序。
后序遍历二叉树大家应该已经烂熟于心了,就是下图这个遍历顺序:
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结合上述基本分析,我们把 nums[lo..hi] 理解成二叉树的节点,srot 函数理解成二叉树的遍历函数,整个归并排序的执行过程就是以下 GIF 描述的这样:
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这样,归并排序的核心思路就分析完了,接下来只要把思路翻译成代码就行。
代码实现及分析
只要拥有了正确的思维方式,理解算法思路是不困难的,但把思路实现成代码,也很考验一个人的编程能力。
毕竟算法的时间复杂度只是一个理论上的衡量标准,而算法的实际运行效率要考虑的因素更多,比如应该避免内存的频繁分配释放,代码逻辑应尽可能简洁等等。
经过对比,《算法 4》中给出的归并排序代码兼具了简洁和高效的特点,所以我们可以参考书中给出的代码作为归并算法模板:
class Merge {// 用于辅助合并有序数组 private static int[] temp; public static void sort(int[] nums) { // 先给辅助数组开辟内存空间 temp = new int[nums.length]; // 排序整个数组(原地修改) sort(nums, 0, nums.length - 1); }// 定义:将子数组 nums[lo..hi] 进行排序 private static void sort(int[] nums, int lo, int hi) { if (lo == hi) { // 单个元素不用排序 return; } // 这样写是为了防止溢出,效果等同于 (hi + lo) / 2 int mid = lo + (hi - lo) / 2; // 先对左半部分数组 nums[lo..mid] 排序 sort(nums, lo, mid); // 再对右半部分数组 nums[mid+1..hi] 排序 sort(nums, mid + 1, hi); // 将两部分有序数组合并成一个有序数组 merge(nums, lo, mid, hi); }// 将 nums[lo..mid] 和 nums[mid+1..hi] 这两个有序数组合并成一个有序数组 private static void merge(int[] nums, int lo, int mid, int hi) { // 先把 nums[lo..hi] 复制到辅助数组中 // 以便合并后的结果能够直接存入 nums for (int i = lo; i <= hi; i++) { temp[i] = nums[i]; }// 数组双指针技巧,合并两个有序数组 int i = lo, j = mid + 1; for (int p = lo; p <= hi; p++) { if (i == mid + 1) { // 左半边数组已全部被合并 nums[p] = temp[j++]; } else if (j == hi + 1) { // 右半边数组已全部被合并 nums[p] = temp[i++]; } else if (temp[i] > temp[j]) { nums[p] = temp[j++]; } else { nums[p] = temp[i++]; } } } }

有了之前的铺垫,这里只需要着重讲一下这个 merge 函数。
sort 函数对 nums[lo..mid]nums[mid+1..hi] 递归排序完成之后,我们没有办法原地把它俩合并,所以需要 copy 到 temp 数组里面,然后通过类似于前文 单链表的六大技巧 中合并有序链表的双指针技巧将 nums[lo..hi] 合并成一个有序数组:
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注意我们不是在 merge 函数执行的时候 new 辅助数组,而是提前把 temp 辅助数组 new 出来了,这样就避免了在递归中频繁分配和释放内存可能产生的性能问题。
再说一下归并排序的时间复杂度,虽然大伙儿应该都知道是 O(NlogN),但不见得所有人都知道这个复杂度怎么算出来的。
前文 动态规划详解 说过递归算法的复杂度计算,就是子问题个数 x 解决一个子问题的复杂度。对于归并排序来说,时间复杂度显然集中在 merge 函数遍历 nums[lo..hi] 的过程,但每次 merge 输入的 lohi 都不同,所以不容易直观地看出时间复杂度。
merge 函数到底执行了多少次?每次执行的时间复杂度是多少?总的时间复杂度是多少?这就要结合之前画的这幅图来看:
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执行的次数是二叉树节点的个数,每次执行的复杂度就是每个节点代表的子数组的长度,所以总的时间复杂度就是整棵树中「数组元素」的个数。
所以从整体上看,这个二叉树的高度是 logN,其中每一层的元素个数就是原数组的长度 N,所以总的时间复杂度就是 O(NlogN)
力扣第 912 题「排序数组」就是让你对数组进行排序,我们可以直接套用归并排序代码模板:
class Solution { public int[] sortArray(int[] nums) { // 归并排序对数组进行原地排序 Merge.sort(nums); return nums; } }class Merge { // 见上文 }

其他应用
除了最基本的排序问题,归并排序还可以用来解决力扣第 315 题「计算右侧小于当前元素的个数」:
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拍脑袋的暴力解法就不说了,嵌套 for 循环,平方级别的复杂度。
这题和归并排序什么关系呢,主要在 merge 函数,我们在合并两个有序数组的时候,其实是可以知道一个数字 x 后边有多少个数字比 x 小的。
具体来说,比如这个场景:
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这时候我们应该把 temp[i] 放到 nums[p] 上,因为 temp[i] < temp[j]
但就在这个场景下,我们还可以知道一个信息:5 后面比 5 小的元素个数就是 jmid + 1 之间的元素个数,即 2 个。
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换句话说,在对 nuns[lo..hi] 合并的过程中,每当执行 nums[p] = temp[i] 时,就可以确定 temp[i] 这个元素后面比它小的元素个数为 j - mid - 1
当然,nums[lo..hi] 本身也只是一个子数组,这个子数组之后还会被执行 merge,其中元素的位置还是会改变。但这是其他递归节点需要考虑的问题,我们只要在 merge 函数中做一些手脚,叠加每次 merge 时记录的结果即可。
发现了这个规律后,我们只要在 merge 中添加两行代码即可解决这个问题,看解法代码:
class Solution { private class Pair { int val, id; Pair(int val, int id) { // 记录数组的元素值 this.val = val; // 记录元素在数组中的原始索引 this.id = id; } }// 归并排序所用的辅助数组 private Pair[] temp; // 记录每个元素后面比自己小的元素个数 private int[] count; // 主函数 public List countSmaller(int[] nums) { int n = nums.length; count = new int[n]; temp = new Pair[n]; Pair[] arr = new Pair[n]; // 记录元素原始的索引位置,以便在 count 数组中更新结果 for (int i = 0; i < n; i++) arr[i] = new Pair(nums[i], i); // 执行归并排序,本题结果被记录在 count 数组中 sort(arr, 0, n - 1); List res = new LinkedList<>(); for (int c : count) res.add(c); return res; }// 归并排序 private void sort(Pair[] arr, int lo, int hi) { if (lo == hi) return; int mid = lo + (hi - lo) / 2; sort(arr, lo, mid); sort(arr, mid + 1, hi); merge(arr, lo, mid, hi); }// 合并两个有序数组 private void merge(Pair[] arr, int lo, int mid, int hi) { for (int i = lo; i <= hi; i++) { temp[i] = arr[i]; }int i = lo, j = mid + 1; for (int p = lo; p <= hi; p++) { if (i == mid + 1) { arr[p] = temp[j++]; } else if (j == hi + 1) { arr[p] = temp[i++]; // 更新 count 数组 count[arr[p].id] += j - mid - 1; } else if (temp[i].val > temp[j].val) { arr[p] = temp[j++]; } else { arr[p] = temp[i++]; // 更新 count 数组 count[arr[p].id] += j - mid - 1; } } } }

因为在排序过程中,每个元素的索引位置会不断改变,所以我们用一个 Pair 类封装每个元素及其在原始数组 nums 中的索引,以便 count 数组记录每个元素之后小于它的元素个数。
你现在回头体会下我在本文开头说那句话:
所有递归的算法,本质上都是在遍历一棵(递归)树,然后在节点(前中后序位置)上执行代码。你要写递归算法,本质上就是要告诉每个节点需要做什么。
有没有品出点味道?
【归并排序详解及应用】最后总结一下吧,本文从二叉树的角度讲了归并排序的核心思路和代码实现,同时讲了一道归并排序相关的算法题。这道算法题其实就是归并排序算法逻辑中夹杂一点私货,但仍然属于比较难的,你可能需要亲自做一遍才能理解。
那我最后留一个思考题吧,下一篇文章我会讲快速排序,你是否能够尝试着从二叉树的角度去理解快速排序?如果让你用一句话总结快速排序的逻辑,你怎么描述?
好了,答案下篇文章揭晓。
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