数字频率、模拟频率之间关系的推导
傅里叶变换为：
\[X(\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \tag{1} \]
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)d\Omega \tag{2} \]
但是傅里叶变换存在的充分条件是在无限区间内满足绝对可积：
\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt < \infty \]
该条件限制了某些增长信号如\(e^{at},a>0\)傅里叶变换的存在，对于周期信号、阶跃信号虽然没有受到这方面限制，但其变换式中出现冲激函数\(\delta(\Omega)\)。为了使更多的函数存在变换，并简化某些变换形式或运算过程，引入一个衰减因子\(e^{-\sigma t}\)（\(\sigma\)为任意实数）使它与\(x(t)\)相乘，于是\(e^{-\sigma t}x(t)\)得以收敛，绝对可积条件就容易满足。此时\(e^{-\sigma t}x(t)\)的傅里叶变换为：
\[X_{1}(\Omega)=\int_{0}^{+\infty}[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\Omega t}dt=\int_{0}^{+\infty}x(t)e^{-(\sigma+j\Omega)t}dt \]
将上式中的\(\sigma+j\Omega\)用符号\(s\)代替：
\[s=\sigma+j\Omega \tag{3} \]
于是可以得到：
\[X(s)=\int_{0}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt \tag{4} \]
【数字频率、模拟频率之间关系的推导】再利用傅里叶逆变换，寻找由\(X(s)\)求\(x(t)\)的一般表示式：
\[\begin{aligned} x(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega \\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{(\sigma+j\Omega)t}d\Omega \\ \end{aligned}\]
将\(s=\sigma+j\Omega,ds=jd\Omega\)带入上式，并改变积分上下限，可以得到：
\[x(t)=\frac{1}{j2\pi}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds \tag{5} \]
至此，得到了拉普拉斯的正反变换分别为\((4),(5)\)。
上述两个变换都是对连续函数进行分析，但是数字信号处理处理的都是时间上离散的序列\(x(n)\)，上面两个变换怎么映射到序列上去呢？
首先需要对连续信号进行抽样，进而得到离散序列\(x(n)\)，假设抽样间隔为\(T_{s}\)那么由连续信号到离散信号的过程为：
\[x_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_{s})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s}) \]
上式中\(x_{s}(t)\)是\(x(t)\)在离散时刻\(mT_{s}\)的样点值的集合。
考虑\(x_{s}(t)\)的拉普拉斯变换：
\[\begin{aligned} X_{s}(s)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{s}(t)e^{-st}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s})(t)]e^{-st}dt \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})e^{-st}dt \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})e^{-snT_{s}}=X(e^{sT_{s}}) \end{aligned}\]
如果令
\[z=e^{sT_{s}}=e^{(\sigma+j\Omega)T_{s}} \tag{6} \]
并将\(x(nT_{s})\)简记为一般的离散序列\(x(n)\)，可以得到：
\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \tag{7} \]
这样拉普拉斯变换就变成了\(z\)变换。
我们知道傅里叶变换中的\(X(\Omega)\)反应的是信号的频谱(包括相频、幅频特性)，这时对应的拉普拉斯变换中的\(\sigma=0\)。而如果想要得到离散序列的频谱，相应的\(z\)变换中的\(z=e^{sT_{s}}=e^{\sigma+j\Omega}\)中的\(\sigma\)也要等于0。此时\(z\)变换变为：
\[X(e^{j\Omega T_{s}})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{j\Omega T_{s}n} \]
令
\[\omega=\Omega T_{s} \tag{8} \]
可以得到
\[X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{j\omega n} \tag{9} \]
这就是离散序列的傅里叶变换(DTFT)了。
\((8)\)中的\(\omega\)定义为“数字频率”，而\(\Omega\)正是模拟角频率，由此可以得出，数字角频率，模拟角频率，以及模拟频率与采样频率的关系如下：
\[\omega=\Omega T_{s}=\frac{\Omega}{f_{s}}=\frac{2\pi f}{f_{s}} \tag{10} \]
到了这里可以发现时域上数值已经离散，但是频域上还没有变成离散的，这不适合计算机处理，于是还需要将频谱也变成离散的，该如何变呢？（下次接着说）
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