统计学|灰色关联分析，Python实现GRA(gray relation analysis) 概率论|人工智能|机器学习

灰色关联分析法：
对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。
灰色关联分析，公式网上都有很多，计算也不难，这里就不写公式。
之所以称为关联，是因为他只反映哪一个指标和要对比的指标最有关系，而不反映相关性。
他和相关性系数，没有一毛钱关系，也不对等。最后得出来的系数，也只是做一个排序。
不反映相关性，不反映相关性，不反映相关性。
灰色关联分析，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的方法
特点：

不需要自变量，参考变量服从正态分布，对样本数据没有要求，适合小样本数据。
能够将自变量和参考变量的关联性大小排序，从而得到重要性排序的评价，本身的关联度没有实际意义，比如得出关联度为0.95，这个数字只用排序，并不能像相关性0.95一样得出他们高度正相关。
缺点在于只能排序，不能得出确切的相关性，不属于相关性分析范畴，只归入综合评价方法里。

步骤：

确定参考指标和比较指标，一般参考指标放最开始的位置。
确定归一化（其实这里说归一化不太正确，但很多地方都说归一化，其实应该是消除量纲）方法，常见的有：

初值法	增益型：每一个指标除以这个指标的第一个（初值）。成本型：第一个值除以每一个指标的每个值
均值法	增益型：每一个指标除以这个指标的均值。成本型：均值除以每一个指标的每个值
区间变换法	增益型：（指标减去最小值）除以（最大值减最小值）。成本型：（最大值减去指标）除以（最大值减最小值）
…	…

方法有很多，常见的就是初值和均值，增益型就是这个比较指标相对于参考指标越大越好，成本型就是越小越好，所以要把他们都转变成方向一致。

这时候的矩阵已经没有了量纲的影响，再用每个要比较的指标减去参考指标，一般参考放第一行，就都减去第一行的数据。这个地方要取绝对值，不能有负数，得到的矩阵一般记做Δ（k）
求两级最大差和最小差，即上面Δ(k)矩阵中的最大值，和最小值。记Δ(max)，Δ(min)
得到关联系数矩阵：式子中的Δ(k)就是上面得到的绝对值后的矩阵

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最后对每一个指标的向量求均值。就是最终的结果

下面是Python代码

# 最下面写了三个函数分别为gain，cost,level_，用于无量纲化，被GRA调用def GRA(df,normaliza="initial",level=None,r=0.5): ''' df : 二维数据，这里用dataframe，每一行是一个评价指标，要对比的参考指标放在第一行 normaliza ：["initial","mean"] 归一化方法，默认为初值，提供初值化或者均值化，其他方法自行编写 level ：为None默认增益型，可取增益型"gain"(越大越好),成本型"cost"(越小越好)，或者dataframe中的某一列，如level="level"，"level"是列名，这列中用数字1和0表示增益和成本型 r ： [0-1] 分辨系数越大，分辨率越大；越小，分辨率越小，一般取0.5 ''' # 判断类型 if not isinstance(df,pd.DataFrame): df = pd.DataFrame(df)# 判断参数输入 if (normaliza not in ["initial","mean"]) or (r<0 or r>1): raise KeyError("参数输入类型错误")# 增益型的无量纲化方法 if level == "gain" or level == None: df_ = gain(df,normaliza)#成本性无量纲化方法 elif level == "cost": df_ = cost(df,normaliza)else:# 有增益有成本性的无量纲化方法 try: df.columns.get_loc(level) # 尝试获得这一列的列索引，判断输入的列名有没有，返回这个列的索引下标 except: raise KeyError("表中没有这一列") df_ = level_(df,normaliza,level) df_.drop(level,axis=1,inplace=True)# 加的level这一列对总体没用，最后把这一列删除再做关联分析df_ = np.abs(df_ - df_.iloc[0,:]) # 每一行指标和要参考的指标做减法，取绝对值。 global_max = df_.max().max() global_min = df_.min().min() df_r = (global_min + r*global_max)/(df_ + r*global_max) # 求关联矩阵 return df_r.mean(axis=1)# gain增益型 def gain(df,normaliza): for i in range(df.shape[0]): if normaliza == "initial" or normaliza==None: df.iloc[i] = df.iloc[i]/df.iloc[i,0] elif normaliza == "mean": df.iloc[i] = df.iloc[i]/df.mean(axis=1) return df# cost成本型 def cost(df,normaliza): for i in range(df.shape[0]): if normaliza == "initial" or normaliza==None: df.iloc[i] = df.iloc[i,0]/df.iloc[i] elif normaliza == "mean": df.iloc[i] = df.mean(axis=1)/df.iloc[i] return df# 自定义级别0-1型 def level_(df,normaliza,level): # 把这个表中等于1和等于0的数，重新分成两个表，调用上面两个方法。在合成一张表 df_gain = df[df[level]==1] df_cost = df[df[level]==0] df_1 = gain(df_gain,normaliza) df_2 = cost(df_cost,normaliza) return df_1.append(df_2)

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现在有这样一组数据，通过对某健将级女子铅球运动员的跟踪调查，获得其 1982 年至 1986 年每年最好成绩及16 项专项素质和身体素质的时间序列资料，见表，试对此铅球运动员的专项成绩进行因素分析。
这是其他文章中的例子，那篇文章用matlab代码写的。传送门

# 数据如下 x = np.array([ [13.6,14.01,14.54,15.64,15.69], [11.50,13.00,15.15,15.30,15.02], [13.76,16.36,16.90,16.56,17.30], [12.41,12.70,13.96,14.04,13.46], [2.48,2.49,2.56,2.64,2.59], [85,85,90,100,105], [55,65,75,80,80], [65,70,75,85,90], [12.80,15.30,16.24,16.40,17.05], [15.30,18.40,18.75,17.95,19.30], [12.71,14.50,14.66,15.88,15.70], [14.78,15.54,16.03,16.87,17.82], [7.64,7.56,7.76,7.54,7.70], [120,125,130,140,140], [80,85,90,90,95], [4.2,4.25,4.1,4.06,3.99], [13.1,13.42,12.85,12.72,12.56] ])

因为最后两个指标是成本型，前面的都是增益型，所以我们另外加一列表示他的类型

df1 = pd.DataFrame(x) df1["level"] = np.array([1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0])

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将这个数据传入方法中，即可得到最终的关联系数
0 1.000000
1 0.588106
2 0.662749
3 0.853618
4 0.776254
5 0.854873
6 0.502235
7 0.659223
8 0.582007
9 0.683125
10 0.695782
11 0.895453
12 0.704684
13 0.933405
14 0.846704
15 0.745373
16 0.726079
第一行是铅球专项成绩x0，本身和自己最关联，这个不用看，剩下关联最强的就是x13全蹲，这样可以做针对性训练。最后还可以排个序。
再讨论一下这个关联系数矩阵，步骤中第五步求出的。
针对上面的，关联矩阵如下，

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画一个图，从里面挑几行出来画，要不太多了，看不清楚。

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挑的数据为[0,1,2,3,4,13,16]这几行，其中0就是参考的指标。
可以看得出来，x13是关系最强的，所以和0的那条直线挨的最近，1,2,3中3是最强的，所以红色的线也在上面。(调节系数r的大小，画出图的紧凑程度也不一样。这里就不试了。)
【统计学|灰色关联分析，Python实现GRA(gray relation analysis)】这就是一开始说的，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。