关键词：灰色预测 python 实现 灰色预测 GM(1,1)模型 灰色系统 预测 灰色预测公式推导
一、前言
本文的目的是用Python和类对灰色预测进行封装
二、原理简述
1.灰色预测概述
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：
(1) 灰色时间序列预测。用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量(如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等)构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测(灾变预测)。通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
(4) 系统预测，对系统行为特征指标建立一族相互关联的灰色预测理论模型，在预测系统整体变化的同时，预测系统各个环节的变化。
上述灰色预测方法的共同特点是：
(1)允许少数据预测；
(2)允许对灰因果律事件进行预测，例如：
灰因白果律事件：在粮食生产预测中，影响粮食生产的因子很多，多到无法枚举，故为灰因，然而粮食产量却是具体的，故为白果。粮食预测即为灰因白果律事件预测。
白因灰果律事件：在开发项目前景预测时，开发项目的投入是具体的，为白因，而项目的效益暂时不很清楚，为灰果。项目前景预测即为灰因白果律事件预测。
(3)具有可检验性，包括：建模可行性的级比检验(事前检验)，建模精度检验(模型检验)，预测的滚动检验(预测检验)。
2.GM(1,1)模型理论
GM(1,1)模型适合具有较强的指数规律的数列，只能描述单调的变化过程。已知元素序列数据：
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做一次累加生成(1-AGO)序列：
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其中
，
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令
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为
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的紧邻均值生成序列：
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其中，
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建立GM(1,1)的灰微分方程模型为：
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其中，
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为发展系数，
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为灰色作用量。设
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为待估参数向量，即
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，则灰微分方程的最小二乘估计参数列满足
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其中
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再建立灰色微分方程的白化方程(也叫影子方程)：
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白化方程的解(也叫时间响应函数)为
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那么相应的GM(1,1)灰色微分方程的时间响应序列为：
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取
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，
则
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再做累减还原可得
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即为预测方程。
注1：原始序列数据不一定要全部使用，相应建立的模型也会不同，即
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和
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不同；
注2：原始序列数据必须要等时间间隔、不间断。
3.算法步骤
(1) 数据的级比检验
为了保证灰色预测的可行性，需要对原始序列数据进行级比检验。
对原始数据列
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，
计算序列的级比：
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若所有的级比
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都落在可容覆盖
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内，则可进行灰色预测；否则需要对
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做平移变换，
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，使得
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满足级比要求。
(2) 建立GM(1,1)模型，计算出预测值列。
(3) 检验预测值：
① 相对残差检验，计算
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若
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，则认为达到一般要求，若
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，则认为达到较高要求；
② 级比偏差值检验
根据前面计算出来的级比
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, 和发展系数
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, 计算相应的级比偏差：
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若
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, 则认为达到一般要求，若
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, 则认为达到较高要求。
(4) 利用模型进行预测。
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