Quant|量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱之函数插值】量化|quant|机器学习|c语言|pyt

在本篇中，我们将介绍Q宽客常用工具之一：函数插值。接着将函数插值应用于一个实际的金融建模场景中：波动率曲面构造。
通过本篇的学习您将学习到：

如何在scipy中使用函数插值模块：interpolate；
波动率曲面构造的原理；

将interpolate运用于波动率曲面构造。

1. 如何使用scipy做函数插值函数插值，即在离散数据的基础上补插连续函数，估算出函数在其他点处的近似值的方法。在scipy中，所有的与函数插值相关的功能都在scipy.interpolate模块中 from scipy import interpolate dir(interpolate)[:5] 【Quant|量化分析师的Python日记【Q Quant兵器谱之函数插值】】

['Akima1DInterpolator', 'BPoly', 'BarycentricInterpolator', 'BivariateSpline', 'CloughTocher2DInterpolator']

作为介绍性质的本篇，我们将只关注interpolate.spline的使用，即样条插值方法：

xk离散的自变量值，为序列
yk对应xk的函数值，为与xk长度相同的序列
xnew需要进行插值的自变量值序列
order样条插值使用的函数基德阶数，为1时使用线性函数

Interpolate a curve at new points using a spline fitParameters ---------- xk, yk : array_like The x and y values that define the curve. xnew : array_like The x values where spline should estimate the y values. order : int Default is 3. kind : string One of {'smoothest'} conds : Don't know Don't knowReturns ------- spline : ndarray An array of y values; the spline evaluated at the positions `xnew`.

1.1 三角函数（np.sin）插值一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：

f(x)=sin(x)
假设我们已经观测到的 f(x) 在离散点 x=(1,3,5,7,9,11,13) 的值：

1.1 三角函数（np.sin）插值一例胜千言！让我们这里用实际的一个示例，来说明如何在scipy中使用函数插值。这里的目标函数是三角函数：f(x)=sin(x) 假设我们已经观测到的f(x)在离散点x=(1,3,5,7,9,11,13)的值：

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首先我们使用最简单的线性插值算法，这里面只要将 spline 的参数 order 设置为1即可：

xnew = np.linspace(1.0,13.0,500) ynewLinear = interpolate.spline(x,y,xnew,order = 1) ynewLinear[:5]

array([ 0.84147098,0.83304993,0.82462888,0.81620782,0.80778677])

最后我们获得真实的sin(x)的值：

ynewReal = np.sin(xnew) ynewReal[:5]

让我们把所有的函数画到一起，看一下插值的效果。对于我们这个例子中的目标函数而言，由于本身目标函数是光滑函数，则越高阶的样条插值的方法，插值效果越好。

pylab.figure(figsize = (16,8)) pylab.plot(xnew,ynewReal) pylab.plot(xnew,ynewLinear) pylab.plot(xnew,ynewCubicSpline) pylab.scatter(x,y, s = 160, marker='x', color = 'k') pylab.legend([u'真实曲线', u'线性插值', u'样条插值', u'$f(x)$离散点'], prop = font) pylab.title(u'$f(x)$不同插值方法拟合效果：线性插值 v.s 样条插值', fontproperties = font)

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2. 函数插值应用 —— 期权波动率曲面构造市场上期权价格一般以隐含波动率的形式报出，一般来讲在市场交易时间，交易员可以看到类似的波动率矩阵（Volatilitie Matrix):

import pandas as pd pd.options.display.float_format = '{:,>.2f}'.format dates = [Date(2015,3,25), Date(2015,4,25), Date(2015,6,25), Date(2015,9,25)] strikes = [2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6] blackVolMatrix = np.array([[ 0.32562851,0.29746885,0.29260648,0.27679993], [ 0.28841840,0.29196629,0.27385023,0.26511898], [ 0.27659511,0.27350773,0.25887604,0.25283775], [ 0.26969754,0.25565971,0.25803327,0.25407669], [ 0.27773032,0.24823248,0.27340796,0.24814975]]) table = pd.DataFrame(blackVolMatrix * 100, index = strikes, columns = dates, ) table.index.name = u'行权价' table.columns.name = u'到期时间' print u'2015年3月3日10时波动率矩阵' table

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交易员可以看到市场上离散值的信息，但是如果可以获得一些隐含的信息更好：例如，在2015年6月25日以及2015年9月25日之间，波动率的形状会是怎么样的？
2.1 方差曲面插值
我们并不是直接在波动率上进行插值，而是在方差矩阵上面进行插值。方差和波动率的关系如下：

Var(K,T)=σ(K,T)2T
所以下面我们将通过处理，获取方差矩阵（Variance Matrix):

evaluationDate = Date(2015,3,3) ttm = np.array([(d - evaluationDate) / 365.0 for d in dates]) varianceMatrix = (blackVolMatrix**2) * ttm varianceMatrix

array([[ 0.00639109,0.0128489 ,0.02674114,0.04324205], [ 0.0050139 ,0.01237794,0.02342277,0.03966943], [ 0.00461125,0.01086231,0.02093128,0.03607931], [ 0.00438413,0.0094909 ,0.02079521,0.03643376], [ 0.00464918,0.00894747,0.02334717,0.03475378]])

这里的值varianceMatrix就是变换而得的方差矩阵。
下面我们将在行权价方向以及时间方向同时进行线性插值，具体地，行权价方向：

Var(K,t)=K2?KK2?K1Var(K1,t)+K?K1K2?K1Var(K2,t)
时间方向：

Var(K)=t2?tt2?t1Var(K,t1)+t?t1t2?t1Var(K,t2)
这个过程在scipy中可以直接通过interpolate模块下interp2d来实现：

ttm 时间方向离散点
strikes 行权价方向离散点
varianceMatrix 方差矩阵，列对应时间维度；行对应行权价维度
kind = 'linear' 指示插值以线性方式进行

interp = interpolate.interp2d(ttm, strikes, varianceMatrix, kind = 'linear')
array([ 0.00639109])
最后我们获取整个平面上所有点的方差值，再转换为波动率曲面。

sMeshes = np.linspace(strikes[0], strikes[-1], 400) tMeshes = np.linspace(ttm[0], ttm[-1], 200) interpolatedVarianceSurface = np.zeros((len(sMeshes), len(tMeshes))) for i, s in enumerate(sMeshes): for j, t in enumerate(tMeshes): interpolatedVarianceSurface[i][j] = interp(t,s)interpolatedVolatilitySurface = np.sqrt((interpolatedVarianceSurface / tMeshes)) print u'行权价方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 0) print u'到期时间方向网格数：', np.size(interpolatedVolatilitySurface, 1)

行权价方向网格数： 400 到期时间方向网格数： 200
选取某一个到期时间上的波动率点，看一下插值的效果。这里我们选择到期时间最近的点：2015年3月25日：

pylab.figure(figsize = (16,8)) pylab.plot(sMeshes, interpolatedVolatilitySurface[:, 0]) pylab.scatter(x = strikes, y = blackVolMatrix[:,0], s = 160,marker = 'x', color = 'r') pylab.legend([u'波动率（线性插值）', u'波动率（离散）'], prop = font) pylab.title(u'到期时间为2015年3月25日期权波动率', fontproperties = font)

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最终，我们把整个曲面的图像画出来看看：

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import cmmaturityMesher, strikeMesher = np.meshgrid(tMeshes, sMeshes) pylab.figure(figsize = (16,9)) ax = pylab.gca(projection = '3d') surface = ax.plot_surface(strikeMesher, maturityMesher, interpolatedVolatilitySurface*100, cmap = cm.jet) pylab.colorbar(surface,shrink=0.75) pylab.title(u'2015年3月3日10时波动率曲面', fontproperties = font) pylab.xlabel("strike") pylab.ylabel("maturity") ax.set_zlabel(r"volatility(%)")