解析几何之目（弦长和面积：2014年理数全国卷A题20）
标签： 高中数学 高考真题 解析几何
2014年理科数学全国卷一题20
（20）（本小题满分12分）
已知点，椭圆的离心率为 ,是椭圆的右焦点，直线的斜率为， 为坐标原点.
（I）求的方程;
（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点.当的面积最大时，求的方程.
【解答问题I】
依题意可知，直线的方程为： . 其与轴的交点为 .
所以, 椭圆的方程为：
【问题Ⅱ分析】
注意以下的示意图， 四点可构成3个三角形（两小一大）：
两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积。其中， 和的面积计算较为容易，可以根据这两个三角形的面积，计算的面积。
文章图片
【解答问题Ⅱ】
若直线垂直于轴，则 两点在轴上，的面积为0. 以下讨论斜率存在的情况。
因为点在 轴上，所以两点位于轴同侧，其坐标同正或同负。
已知, 所以
两点是直线与椭圆的公共点，满足以下方程：
代入消元后可得：
令
当时， 取得最大值，取得最大值。
由解得, 此时
综上所述，当的面积最大时，的方程为：.
【提炼与提高】
三角形的面积有多种计算方法，在高考中出现频率较高。
在以上解法中，经过几何分析后，我们找到了一种计算量较小的路径。如果根据长度及与原点的距离计算也是可以的。结论一致，但计算过程就要复杂一些。有兴趣的读者可以自行尝试，并作比较。
考场上的每一分钟都是珍贵的。要想在高考中胜出，就要养成良好的解题习惯：对解析几何问题，要先作几何分析，找出几条可行的解答路径，再粗略比较几种解法的计算成本，选择一条最优解答路径。当然，只有在平时加强训练，才能做到这一点。
【解析几何之目（弦长和面积：2014年理数全国卷A题20）】关于面积公式的灵活用法，请参考下文：
用初中数学解答高考题：如何用面积公式实现转化？
