刚体运动学（4）（凯利-克莱因参数）
动机
涉及到欧拉角的矩阵变换含有大量的三角函数，不适合用于数值的计算。为克服这一障碍，在历史上，费利克斯·克莱因在求解复杂的陀螺仪积分问题时，便使用了一组四个的参数来描述陀螺仪的运动。于是这四个参数在后来就被称为凯利-克莱因参数（Cayley-Klein parameters）。记号
凯莉-克莱因参数均为复数，记为，欧拉参数
存在约束条件
【刚体运动学（4）（凯利-克莱因参数）】转动算符可以被进一步表示成
%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Calpha%5E2%20-%20%5Cgamma%5E2%20%2B%20%5Cdelta%5E2%20%20-%20%5Cbeta%5E2)%20%26%20%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(%5Cgamma%5E2%20%2B%20%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cdelta%5E2%20-%20%5Cbeta%5E2%20)%20%26%20%5Cgamma%5Cdelta%20-%20%5Calpha%5Cbeta%5C%5C%5Cfrac%7Bi%7D%7B2%7D(%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cgamma%5E2%20-%20%5Cbeta%5E2%20-%20%5Cdelta%5E2)%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D(%5Calpha%5E2%20%2B%20%5Cgamma%5E2%20%2B%20%5Cbeta%5E2%20%2B%20%5Cdelta%5E2)%20%26%20-i(%5Calpha%5Cbeta%20%2B%20%5Cgamma%5Cdelta)%5C%5C%5Cbeta%5Cdelta%20-%20%5Calpha%5Cgamma%20%26%20i(%5Calpha%5Cgamma%20%2B%20%5Cbeta%5Cdelta)%20%26%20%5Calpha%5Cdelta%20%2B%20%5Cbeta%5Cgamma%5Cend%7Bbmatrix%7D%20)
文章图片
由于是实矩阵，不妨定义
其中，四个参量均为实数，被叫做欧拉参数（Euler parameters），欧拉参量之间的关系有
于是，转动算符也可以表示成如下形式
%20%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%0Ae_0%5E2%20%2B%20e_1%5E2%20-%20e_2%5E2%20-%20e_3%5E2%20%26%202(e_1e_2%20%2B%20e_2e_3)%20%26%202(e_1e_3%20-%20e_0e_2)%5C%5C%0A2(e_1e_2%20-%20e_0e_3)%20%26%20e_0%5E2%20-%20e_1%5E2%20%2B%20e_2%5E2%20-%20e_3%5E2%20%26%202(e_2e_3%20%2B%20e_0e_1)%5C%5C%0A2(e_1e_3%20%2B%20e_0e_2)%20%26%202(e_2e_3%20-%20e_0e_1)%20%26%20e_0%5E2%20-%20e_1%5E2%20-%20e_2%5E2%20%2B%20e_3%5E2%20%0A%5Cend%7Bbmatrix%7D)
文章图片
用上述参数表示的转动算符同样也不也能被分解成含有反演算符的形式。
推荐阅读
- 《自控力》P72
- Matlab Robotics 逆运动学求解函数（ikine）分析
- Delta并联机构运动学分析
- 关于SCARA机器人正运动学的疑惑（）
- Matlab机器人工具箱（1）——机器人的建立、绘制与正逆运动学
- 机器人动力学（牛顿欧拉推导）
- MATLAB机器人工具箱（三）正逆运动学与轨迹规划
- 具有逆运动学的2维轨迹跟踪（翻译--个人学习记录）
- 正逆运动学
- 三维空间刚体运动1（旋转矩阵与变换矩阵）