简单讲解哈希表
目录
- 一、哈希表的概念
- 1、查找算法
- 2、哈希表
- 3、哈希数组
- 4、关键字
- 5、哈希函数
- 6、哈希冲突
- 7、哈希地址
- 二、常用哈希函数
- 1、直接定址法
- 2、平方取中法
- 3、折叠法
- 4、除留余数法
- 5、位与法
- 三、常见哈希冲突解决方案
- 1、开放定址法
- 1)原理讲解
- 2)动画演示
- 2、再散列函数法
- 1)原理讲解
- 2)动画演示
- 3、链地址法
- 1)原理讲解
- 2)动画演示
- 4、公共溢出区法
- 1)原理讲解
- 2)动画演示
- 四、哈希表的实现
- 1、数据结构定义
- 2、哈希表初始化
- 3、哈希函数计算
- 4、哈希表查找
- 5、哈希表插入
- 6、哈希表删除
- 7、哈希表完整实现
一、哈希表的概念
1、查找算法
??当我们在一个 链表 或者 顺序表 中 查找 一个数据元素 是否存在 的时候,唯一的方法就是遍历整个表,这种方法称为 线性枚举。
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??如果这时候,顺序表是有序的情况下,我们可以采用折半的方式去查找,这种方法称为 二分枚举。
??线性枚举 的时间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。二分枚举 的时间复杂度为 O(log2?n)。是否存在更快速的查找方式呢?这就是本要介绍的一种新的数据结构 —— 哈希表。
2、哈希表
??由于它不是顺序结构,所以很多数据结构书上称之为 散列表,下文会统一采用 哈希表 的形式来说明,作为读者,只需要知道这两者是同一种数据结构即可。
??我们把需要查找的数据,通过一个 函数映射,找到 存储数据的位置 的过程称为 哈希。这里涉及到几个概念:
??a)需要 查找的数据 本身被称为 关键字;
??b)通过 函数映射 将 关键字 变成一个 哈希值 的过程中,这里的 函数 被称为 哈希函数;
??c)生成 哈希值 的过程过程可能产生冲突,需要进行 冲突解决;
??d)解决完冲突以后,实际 存储数据的位置 被称为 哈希地址,通俗的说,它就是一个数组下标;
??e)存储所有这些数据的数据结构就是 哈希表,程序实现上一般采用数组实现,所以又叫 哈希数组。整个过程如下图所示:
3、哈希数组
??为了方便下标索引,哈希表 的底层实现结构是一个数组,数组类型可以是任意类型,每个位置被称为一个槽。如下图所示,它代表的是一个长度为 8 的 哈希表,又叫 哈希数组。
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4、关键字
??关键字 是哈希数组中的元素,可以是任意类型的,它可以是整型、浮点型、字符型、字符串,甚至是结构体或者类。如下的 A、C、M 都可以是关键字;
int A = 5; char C[100] = "Hello World!"; struct Obj { }; Obj M;
??哈希表的实现过程中,我们需要通过一些手段,将一个非整型的 关键字 转换成 数组下标,也就是 哈希值,从而通过O(1) 的时间快速索引到它所对应的位置。
??而将一个非整型的 关键字 转换成 整型 的手段就是 哈希函数。
5、哈希函数
??哈希函数可以简单的理解为就是小学课本上那个函数,即
y = f ( x )
,这里的 f(x) 就是哈希函数,x是关键字,y是哈希值。好的哈希函数应该具备以下两个特质:
??a)单射;
??b)雪崩效应:输入值x的 1比特的变化,能够造成输出值y至少一半比特的变化;
??单射很容易理解,图 ( a ) (a) (a) 中已知哈希值 y 时,键 x 可能有两种情况,不是一个单射;而图 (b) 中已知哈希值 y时,键 x 一定是唯一确定的,所以它是单射。由于 x和 y一一对应,这样就从本原上减少了冲突。
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??
雪崩效应是为了让哈希值更加符合随机分布的原则,哈希表中的键分布的越随机,利用率越高,效率也越高。
??常用的哈希函数有:直接定址法、除留余数法、数字分析法、平方取中法、折叠法、随机数法 等等。有关哈希函数的内容,下文会进行详细讲解。
6、哈希冲突
??哈希函数在生成 哈希值 的过程中,如果产生 不同的关键字得到相同的哈希值 的情况,就被称为 哈希冲突。
??即对于哈希函数y=f(x),当关键字 x1≠x2 ,但是却有f(x1?)=f(x2?),这时候,我们需要进行冲突解决。
??冲突解决方法有很多,主要有:开放定址法、再散列函数法、链地址法、公共溢出区法 等等。有关解决冲突的内容,下文会进行详细讲解。
7、哈希地址
??哈希地址 就是一个 数组下标 ,即哈希数组的下标。通过下标获得数据,被称为 索引。通过数据获得下标,被称为 哈希。平时工作的时候,和同事交流时用到的一个词 反查 就是说的 哈希。
二、常用哈希函数
1、直接定址法
??直接定址法 就是 关键字 本身就是 哈希值,表示成函数值就是
f(x)=x
??例如,我们需要统计一个字符串中每个字符的出现次数,就可以通过这种方法。任何一个字符的范围都是 [0,255],所以只要用一个长度为 256 的哈希数组就可以存储每个字符对应的出现次数,利用一次遍历枚举就可以解决这个问题。C代码实现如下:
int i, hash[256]; for(i = 0; str[i]; ++i) {++hash[ str[i] ]; }
??这个就是最基础的直接定址法的实现。
hash[c]
代表字符c
在这个字符串str
中的出现次数。2、平方取中法
??平方取中法 就是对 关键字 进行平方,再取中间的某几位作为 哈希值。
??例如,对于关键字 1314,得到平方为1726596,取中间三位作为哈希值,即265。
??平方取中法 比较适用于 不清楚关键字的分布,且位数也不是很大 的情况。
3、折叠法
??折叠法 是将关键字分割成位数相等的几部分(注意最后一部分位数不够可以短一些),然后再进行求和,得到一个 哈希值。
??例如,对于关键字 5201314,将它分为四组,并且相加得到:52+01+31+4=88,这就是哈希值。
??折叠法 比较适用于 不清楚关键字的分布,但是关键字位数较多 的情况。
4、除留余数法
??除留余数法 就是 关键字 模上 哈希表 长度,表示成函数值就是
f(x)=x mod m
??其中 m 代表了哈希表的长度,这种方法,不仅可以对关键字直接取模,也可以在 平方取中法、折叠法 之后再取模。
??例如,对于一个长度为 4 的哈希数组,我们可以将关键字 模 4 得到哈希值,如图所示:
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5、位与法
??哈希数组的长度一般选择 2 的幂,因为我们知道取模运算是比较耗时的,而位运算相对较为高效。
??选择 2 的幂作为数组长度,可以将 取模运算 转换成 二进制位与。
??令 m = 2^k,那么它的二进制表示就是:
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,任何一个数模上 m,就相当于取了 m的二进制低 k 位,而
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,所以和 位与m?1 的效果是一样的。即:
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??除了直接定址法,其它三种方法都有可能导致哈希冲突,接下来,我们就来讨论下常用的一些哈希冲突的解决方案。
三、常见哈希冲突解决方案
1、开放定址法
1)原理讲解 ??开放定址法 就是一旦发生冲突,就去寻找下一个空的地址,只要哈希表足够大,总能找到一个空的位置,并且记录下来作为它的 哈希地址。公式如下:
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??这里的di? 是一个数列,可以是常数列(1,1,1,...,1),也可以是等差数列(1,2,3,...,m?1)。
2)动画演示
??上图中,采用的是哈希函数算法是 除留余数法,采用的哈希冲突解决方案是 开放定址法,哈希表的每个数据就是一个关键字,插入之前需要先进行查找,如果找到的位置未被插入,则执行插入;否则,找到下一个未被插入的位置进行插入;总共插入了 6 个数据,分别为:11、12、13、20、19、28。??本文在第四章讲解 哈希表的现实 时采用的就是常数列的开放定址法。
??这种方法需要注意的是,当插入数据超过哈希表长度时,不能再执行插入。
2、再散列函数法
1)原理讲解 ??再散列函数法 就是一旦发生冲突,就采用另一个哈希函数,可以是 平方取中法、折叠法、除留余数法 等等的组合,一般用两个哈希函数,产生冲突的概率已经微乎其微了。
??再散列函数法 能够使关键字不产生聚集,当然,也会增加不少哈希函数的计算时间。
2)动画演示
待补充
3、链地址法
1)原理讲解 ??当然,产生冲突后,我们也可以选择不换位置,还是在原来的位置,只是把 哈希值 相同的用链表串联起来。这种方法被称为 链地址法。
2)动画演示
??上图中,采用的是哈希函数算法是 除留余数法,采用的哈希冲突解决方案是 链地址法,哈希表的每个数据保留了一个 链表头结点 和 尾结点,插入之前需要先进行查找,如果找到的位置,链表非空,则插入尾结点并且更新尾结点;否则,生成一个新的链表头结点和尾结点;总共插入了 6 个数据,分别为:11、12、13、20、19、28。
4、公共溢出区法
1)原理讲解 ??一旦产生冲突的数据,统一放到另外一个顺序表中,每次查找数据,在哈希数组中到的关键字和给定关键字相等,则认为查找成功;否则,就去公共溢出区顺序查找,这种方法被称为 公共溢出区法。
??这种方法适合冲突较少的情况。
2)动画演示
待补充
四、哈希表的实现
1、数据结构定义
??由于哈希表的底层存储还是数组,所以我们可以定义一个结构体,结构体中定义一个数组类型的成员,如果需要记录哈希表元素的个数,还可以记录一个
size
字段。??C语言实现如下:
#define maxn (1<<17)// (1)#define mask (maxn-1)// (2)#define DataType int// (3)#define Boolean int// (4)#define NULLKEY (maxn+2)// (5)typedef struct {DataType data[maxn]; }HashTable;
(1) 利用位运算计算哈希函数进行加速,哈希表的长度为 2 的幂;
(2) 利用上文提到的 位与法 作为哈希函数,进行位与的掩码必须是二进制表示都是1的,所以等于 2 的幂减一;
(3) 定义关键字类型为整型
int
;(4) 定义一个布尔变量类型;
(5)
NULLKEY
作为哈希表对应位置为空时的标记,必须是一个非关键字能取到的值;2、哈希表初始化
??哈希表初始化要做的事情,就是把哈希表的每个位置都置空。C语言代码实现如下:
void HashInit(HashTable *ht) {int i; for(i = 0; i < maxn; ++i) {ht->data[i] = NULLKEY; // (1)}}
- (1) 将哈希表的每个位置都置空;
3、哈希函数计算
??哈希函数计算采用 除留余数法 的优化版本 位与法。C语言代码实现如下:
int HashGetAddr(DataType key) {return key & mask; }
4、哈希表查找
??查找需要采用和插入时相同的哈希冲突方案,即开放寻址法。C语言代码实现如下:
Boolean HashSearchKey(HashTable *ht, DataType key, int *addr) {int startaddr = HashGetAddr(key); // (1)*addr = startaddr; // (2)while(ht->data[*addr] != key) {// (3)*addr = HashGetAddr(*addr + 1); // (4)if(ht->data[*addr] == NULLKEY)// (5)return 0; if(*addr == startaddr)// (6)return 0; }return 1; // (7)}
(1) 根据 哈希函数
HashGetAddr
计算得到一个哈希值startaddr
;(2)
addr
是需要作为返回值的,所以要用解引用;(3) 在哈希表的
addr
对应查找,如果不是空位,则继续(4);否则,跳出循环;(4) 往后找一个位置;
(5) 如果发现一个空位,说明这个关键字在哈希表中没有对应数据,直接返回 0,代表查找失败;
(6) 代表整个 哈希表 都已经遍历完毕,都没有找到合适的关键字,直接返回 0,代表查找失败;
(7) 否则,返回 1 代表查找成功;
5、哈希表插入 ??哈希冲突时(即当没有合适位置),就找下一相邻位置,即寻址数列为常数列 (1,1,1,...,1)。插入需要注意当哈希表慢时,不能再执行插入操作。C语言代码实现如下:
int HashInsert(HashTable *ht, DataType key) {int addr = HashGetAddr(key); // (1)int retaddr; if ( HashSearchKey(ht, key, &retaddr ) ) { // (2)return retaddr; } while(ht->data[addr] != NULLKEY)// (3)addr = HashGetAddr(addr + 1); // (4)ht->data[addr] = key; // (5)return addr; // (6)}
(1) 根据 哈希函数
HashGetAddr
计算得到一个哈希值addr
;(2) 插入前需要先查找是否存在,如果已经存在,则不执行插入;
(3) 在哈希表的
addr
对应查找,如果不是空位,则继续 (3);否则,跳出循环;(4) 往后找一个位置,继续判断是否为空;
(5) 跳出循环则代表当前哈希表的
addr
位置没有其它元素占据,则可以作为当前key
的位置进行插入;(6) 返回
addr
作为key
的哈希地址;6、哈希表删除 ??有了查找的基础,删除操作就比较简单了,如果不能找到一个关键字的位置,则不对哈希表进行任何操作,返回空关键字;否则,将找到的位置赋为空关键字,并且返回删除的位置;
int HashRemove(HashTable *ht, DataType key) {int addr; if ( !HashSearchKey(ht, key, &addr ) ) {// (1)return NULLKEY; } ht->data[addr] = NULLKEY; // (2)return addr; }
(1) 首先执行查找;
(2) 对找到的位置,将找到位置关键字清空;
7、哈希表完整实现 ??最后,给出一个 开放定址法 的哈希表的完整实现,如下:
/******************** 哈希表 开放定址法 ********************/#define maxn (1<<17)#define mask (maxn-1)#define DataType int#define Boolean int#define NULLKEY (1<<30)typedef struct {DataType data[maxn]; }HashTable; void HashInit(HashTable *ht) {int i; for(i = 0; i < maxn; ++i) {ht->data[i] = NULLKEY; }}int HashGetAddr(DataType key) {return key & mask; }Boolean HashSearchKey(HashTable *ht, DataType key, int *addr) {int startaddr = HashGetAddr(key); *addr = startaddr; while(ht->data[*addr] != key) {*addr = HashGetAddr(*addr + 1); if(ht->data[*addr] == NULLKEY) {return 0; }if(*addr == startaddr) {return 0; }}return 1; }int HashInsert(HashTable *ht, DataType key) {int addr = HashGetAddr(key); int retaddr; if ( HashSearchKey(ht, key, &retaddr ) ) {return retaddr; } while(ht->data[addr] != NULLKEY)addr = HashGetAddr(addr + 1); ht->data[addr] = key; return addr; }int HashRemove(HashTable *ht, DataType key) {int addr; if ( !HashSearchKey(ht, key, &addr ) ) {return NULLKEY; } ht->data[addr] = NULLKEY; return addr; }/******************** 哈希表 开放定址法 ********************/
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