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四色定理的初等证明 四色定理

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四色定理(四色定理的初等证明)中国地图
四色定理的初等证明
数学思维模式:公理(公设)-定义-命题-定理
公理和公设(试证明四色定理)
1条公理
两个量等于同一个量 ， 相等 。
例如:如果a=b b=c
那么a=c
2条公理
任何相同金额的相同运算都是相等的 。
例如:如果a=b
那么an=bn
甲丙=乙丙
答！=b！
a \c = b \c
a×c=b×c
3条公理
两个互相重合的图形 ， 全等 。
4条公理
整体大于部分 。
整体是自身部分的不断叠加 。
5公理
不共线的三个点可以确定一个平面 。
两条相交的线可以确定一个点 。
不重合的两点可以确定一条直线 。
两个相交的平面也可以定义一条直线 。
假设1
你可以从一点到另一点画一条直线 。
假设2
直线可以无限延伸 。
飞机可以无限延伸 。
体积可以无限扩大 。
点可以无限缩小 。
假设3
可以任意点为圆心 ， 任意线段为半径画圆 。
假设4
所有的直角都是相等的 。
所有的直角都是相等的 。
所有圆角都是相等的 。
假设5
在同一平面上 ， 
如果两条直线相交于一点 ， 那么它们形成的角度必须大于0 。
如果两条直线平行或重合 ， 那么它们所形成的角度必须等于0 。
也就是说 ， 
在同一平面上 ， 有两条不重合的直线 ， 
如果它们形成的角度大于0度 ， 
那么 ， 它们必须相交于一点 。
如果它们形成的角度等于0度 ， 
那么 ， 它们一定是平行的 。
假设6
在彼此平行的两个平面中 ， 
不在同一平面的两条直线 ， 即使相交 ， 也会相互平行 ， 不会相交于任何平面上的一点 。
命题L:(交集与共点原理)
在同一平面上 ， 任意两条相交的直线都是公共点 。
证明:
假设在同一个平面上有两条相交的直线 ， 但它们不共 。
根据假设6 ， 
在彼此平行的两个平面中 ， 
不在同一平面的两条直线 ， 即使相交 ， 也会相互平行 ， 不会相交于任何平面上的一点 。
说明这两条直线根本不在一个平面上 。
也就是假设错了 。
因此 ， 命题l成立 ， 
在同一平面上 ， 任意两条相交的直线都是公共点 。
也就是说 ， “在同一个平面上 ， 没有相贯线 ， 只有共同的点线 。”
举例:试证明四色定理
四色定理:任何地图都可以只用四种颜色着色 ， 这样就可以区分有共同边界的国家 ， 相邻的国家颜色不同 。总之“一张地图 ， 四种颜色就够了” 。
证明:
交集公共点原理:
在同一平面上 ， 任意两条相交的直线都是公共点 。
在地图上 ， 忽略海洋和空之间的阻隔 ， 每个国家都是一个封闭的图形 ， 彼此相邻 。
如果一个国家有邻国 ， 它们必须共线2点以上 。
地图也是有边界的 ， 地图外围的邻居少 ， 地图中心的邻居多 。
国家数量至少为1个 ， 最多为6个 。地图通常是这样的 。
命题r:
彼此相邻 ， 颜色不同 。
假设地图上每个国家有四个邻国 ， 用四种颜色上色就够了 。
四色循环图:
四色循环图
如上所示 ， 
每个封闭的形状代表一个国家 ， 即长方形或“7”形长方形 。
线在2点处 ， 表示国家相邻 。
颜色:
。
四色循环序列:1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， …
四色循环序列的特征:
第4项(n-1)+1是1 ， 
第4项(n-1)+2是2 ， 
第4项(n-1)+3是3 ， 
第4(n-1)+4项为4 ， [n为正整数]
颜色填充规则:
按“四色循环顺序”规律填充 。
象限1: 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， …
象限2: 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， …
象限3: 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， …
象限4: 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， …
数列是无限的 ， 所以四色循环图可以无限扩张 。
在四色循环图中 ， 
所有“7”形长方形的国家都有四个邻国 ， 甚至是最外围的国家 。
中心最多的四个“小长方形”国家也可以有四个邻国 。
原因如下：
与自己的边界相对的国家可以是和自己一样的颜色 ， 
不同颜色的边界相对的国家 ， 相当于一个邻国 ， 称为“准邻国” 。
3个邻国+1个潜在邻国= 4个邻国
所以在四色循环图中 ， 四个最中心的国家可以有四个邻国 。
结论:
在四色循环图中 ， 每个国家可以有四个邻国 ， 四种颜色相邻 ， 颜色不同 。
提议R成立 。
命题s:
给地图上色 ， 需要多少种颜色 ， 
等于每个国家的平均邻国数量 ， 
即有色种数=(邻国数1+邻国数2+…+邻国数n)/n 。
提议A:
给地图上色 ， 需要多少种颜色 ， 
等于最大数量的邻国和最小数量的邻国的平均值 ， 
相邻国家的最小数量1 ， 
即有色人种数量=(最大邻国数量+1)/2 。
分析:
四色定理的核心是命题R ， 
命题S和命题A是等价的 ， 它们都是命题r的扩展 。
在地图上 ， 邻国数量最多的是6 ， 最少的是1 ， 平均邻国数量是(1+6)/2 =3.5 。
四色循环序列:1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， …
假设每个国家有四个邻国 ， 取四种颜色 ， 相当于每个国家有四种颜色 。
所以 ， 
一个周期内 ， 邻国少 ， 颜色过剩 ， 而邻国多 ， 则更差 。
它们能用吗？
色彩节省计算:
(4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4)-(5-4)-(6-4)
= 3+2+1+0-1-2
= 3
在一个周期中 ， 颜色有剩余 ， 表示4种颜色足够 。
如果邻国最多是7个呢？
(4-1)+(4-2)+(4-3)+(4-4)-(5-4)-(6-4)-(7-4)
= 3+2+1+0-1-2-3
= 0
邻国最多7个的时候 ， 一个周期 ， 颜色刚刚好 ， 4个颜色就够了 。
当相邻国家的最大数量大于7时 ， 一个周期内四种颜色是不够的 。
如果取三种颜色会怎么样？
色彩节省计算:
(3-1)+(3-2)+(3-3)-(4-3)-(5-3)-(6-3)
= 2+1+0-1-2-3
= -3
邻国数量最多的是6个 。选择三种颜色时 ， 一个周期有三种颜色 ， 说明三种颜色不够 。
总而言之 ， 
一张地图 ， 四色就够了 ， 四色定理是正确的 。
作者注:如有不足 ， 请指正 。
和数学定律 ， 
她就在那里 ， 
【四色定理的初等证明 四色定理】等待 ， 爱她的人去发现 ， 去发现 。

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