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高考中的拉格朗日点之L1点和L2点 拉格朗日点

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拉格朗日点(高考拉格朗日点的L1点和L2点)
上一期“反地球”的位置引出了拉格朗日点 ， 那么什么是拉格朗日点呢？最近几期会陆续讨论 ， 敬请关注 。
一、拉格朗日点的本质
拉格朗日点 ， 又称平移点 ， 是受限三体(宇宙中一种特殊的三体系统)的五种特殊解 。一个质量远小于两个大物体的小物体 ， 在两个大物体的万有引力作用下 ， 在拉格朗日点旋转的过程中 ， 相对于两个大物体始终保持静止 ， 即三个物体始终作为一个整体旋转 。
五个拉格朗日点的前三点 ， 即共线三点 ， 是由瑞士数学家欧拉计算出来的 ， 而L4和L5点是由法国数学家拉格朗日计算出来的 。我们已经从定性和定量的角度说了L3点 。今天 ， 让我们继续学习L1和L2点 。
二、高考中的拉格朗日点
定性分析:
【高考中的拉格朗日点之L1点和L2点 拉格朗日点】L1在两个大物体之间的线上 。假设两个大物体中间有一个可移动的点 ， 如上图所示 。当它靠近左侧时 ， 如果忽略右侧大物体的引力影响 ， 它的周期会越来越小 。如果忽略左边大物体的引力影响 ， 它的周期会越来越大 。所以 ， 如果两者相互影响 ， 必然存在一个点 ， 其周期与右边大物体的周期完全相同 。
L2在两个大物体的连线上 ， 在相对较小的大物体的一边 。让我们假设在两个大物体中相对较小的一个的右边有一个可移动的点 。如上图所示 ， 当它远离右侧大物体时 ， 如果忽略左侧大物体的引力影响 ， 它的周期会越来越大 。如果考虑左边大物体的引力影响 ， 它的周期会越来越小 。所以 ， 如果两者相互影响 ， 必然存在一个点 ， 其周期与右边大物体的周期完全相同 。
(2)定量分析
如果定性分析有时候不太好理解 ， 那我们就试着计算一下具体位置 。
L1:假设左边的大天体是太阳 ， 质量是M ， 右边的大天体是地球 ， 质量是M ， 太阳和地球的距离是R ， 小天体的质量是U ， 小天体和地球的距离是X ， 以小天体为研究对象 。
1:gmu/(r-x的平方))-gmu/(x的平方)= u(ω的平方)(r-x)
同样 ， 当以地球为研究对象时
2: GMM/(r平方)+Gmu/(x平方)=m(ω平方)r
对上述两个公式做两个近似 。R-x近似等于R ， 公式2中红色部分近似为零(原因见上一期) 。
这两个公式可以通过x=立方根(Gm/(R的平方))组合得到 。
同理 ， 在x=立方根(Gm/(R的平方))下也可以找到L2点
可见点L1和L2是关于地球对称的 。
(3)补充一点 。
L1、L2和L3是两个大天体连线上的不稳定点 。因为两个大物体提供的向心力增大 ， 小物体所需的向心力减小 ， 所以不稳定 。这也是考点 ， 请注意 。下期关注L4和L5点 。
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