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抽象代数学习笔记（8）循环群

在讲子群的时候，我们提出了生成子群的概念 ，特别的，如果S={s}，有= 。根据这些，我们可以引出循环群的概念：

群 G 称为循环群，如果有g∈G 使得 G= 。
其实之间说过的旋转变换就可以以循环群的形式出现。比如：

g=[cos120?sin120sin120cos120]
这样 g,g2,g3在矩阵乘法下构成群。
上面举的例子是一个有限群，应该不难发现，这种循环群的特点是，生成元素与通过幂运算（在乘法群）得到的元素可以构成群。
上面的例子还有个特点， g4=g,g3=e。这是不少循环群的：
在循环群G=中，如果有不同的整数r,k 使得 gr=gk ，则存在整数 m 使得：
*gm=e
* 当1≤i * 若有整数t， gt=e ，则m整除t
*={e,g,g2,...,gm?1}
如果对于任意不同的r,k,gr≠gk ，那么是一个无限群。
现在，根据是否存在不同的整数r,k使得 gr=gk ，我们可以将循环群分为两类。而这两类循环群在结构上也具有各自的性质：
若存在不同的整数r,k使得 gr=gk ，那么={e,g,g2,...,gm?1} ，对任意的1≤i 若对任意不同的整数r,k使得 gr≠gk ，那么={...,g?2,g?1,e,g,g2,...}

【抽象代数学习笔记（8）循环群】有时也将这两条性质成为循环群结构定理。
比如整数在加法下构成的群，就有第二条性质陈述中的那种结构，而整数加法群可以写成<1> ，类似的例子还有很多，这儿就不一一举出了。
下篇博文的主题是阶数，它与有限循环群有些关系，大家可以考虑一下第一种循环群中gm=e 这条性质。

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