数学原理-高等数学复习笔记 ——1.1 泰勒公式 泰勒展开式
(注 :需理解 有限增量定理 即拉格朗日中值定理 :https://www.zhihu.com/search?type=content&q=%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B8%AD%E5%80%BC)
第一次见到泰勒展开式的时候,我是崩溃的。泰勒公式长这样:
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好奇泰勒是怎么想出来的,我想,得尽量还原公式发明的过程才能很好的理解它。
首先得问一个问题:泰勒当年为什么要发明这条公式?
因为当时数学界对简单函数的研究和应用已经趋于成熟,而复杂函数,比如:
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这种一看就头疼的函数,还有那种根本就找不到表达式的曲线。除了代入一个x可以得到它的y,就啥事都很难干了。所以泰勒同学就迎难而上!决定让这些式子统统现出原形,统统变简单。
让我们沿着泰勒同学(假装泰勒是这么想的)的思路来:
要让一个复杂函数变简单,能不能把它转换成别的表达式?比如函数
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,怎么看都看不出思路,怎么办呢?我们先不要一口吃掉它,可以先从它最小的部分算起,比如说一个点
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。可以得到:
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。暂时看不出有什么规律。
那就继续增大研究的对象,比如说
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的领域
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,
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。可以得到:
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,其中,
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,
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。好像还是看不出什么规律?然鹅,聪明的泰勒早以看穿一切。
因为
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,所以原式可以化为:
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。所以泰勒想是不是这样:
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,即
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。嗯先假设是这样,然后泰勒同学决定验证一下。
先求个导试试:
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。对了,泰勒同学很激动!继续求:
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,咦,不对了。那说明有了一些问题。仔细分析一下问题在哪呢?
我们可以尝试把
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拆开来:
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,然后分析他们之间有什么共性。
让我们对
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进行求导看看:
一阶导:
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,嗯多了个
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。
二阶导:
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,多了
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。好像有点规律了,
......
m阶导:
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阶导:0。
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是一个常数,所以对
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求导就是0了。
这里规律很明显了,m阶导以后都是0!但是m阶导以前呢?还是蛮复杂的,不过不用担心,因为
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,即
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,所以m阶导以前也都是0,而m阶导就是
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。perfect!
这样就很清晰了:对
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求m阶导为
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。但是我们想要的值是
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,那就把给m!除掉!
【数学原理-高等数学复习笔记 ——1.1 泰勒公式 泰勒展开式】即乘于一个
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,所以
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,证明完毕。泰勒同学很开心!
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