声明：下面一些内容引用了高翔的视觉slam十四讲， 感谢作者。
对于我这种刚入门的小白（cai bi）来说，对极约束公式中的某些步骤理解起来还是有些难度的，下面把个人对相关内容的理解写下来，以备日后翻阅。
一、对极约束推导 以下图为例,我们希望求取两帧图像 I1 , I2 之间的运动,设第一帧到第二帧的运动为R, t。两个相机中心分别为 O1 , O2 。现在,考虑 I1 中有一个特征点 p1 ,它在 I2 中对应着特征点 p2 。
文章图片
图1 从代数角度来看一下这里出现的几何关系。在第一帧的坐标系下,设 P 的空间位置为:
文章图片
公式1 根据针孔相机模型,我们知道两个像素点 p1 , p2 的像素位置为:
文章图片
公式2 这里 K 为相机内参矩阵,R, t 为两个坐标系的相机运动。如果使用齐次坐标, 也可以把上式写成在乘以非零常数下成立的(up
to a scale)等式：
文章图片
公式3 问题（1）来了：为什么使用齐次坐标，并且乘以非零常数后等式依然成立。
解释如下：说到齐次坐标，就要提一下投影几何（或射影几何）。首先齐次坐标是指一个用于投影几何里的坐标系统，如同用于欧式几何里的笛卡儿坐标一般（具体见wiki），射影几何研究在摄影变换下不变的几何性质（具体见wiki）。以针孔相机模型为例，来解释一下为什么齐次坐标乘以非零常数后仍然表示同一个点，如下图：
文章图片
上图中，O表示相机光心，
文章图片
为像素坐标系下的点，P1，P2，P3为在相机坐标系下的空间点，并且P1，P2，P3均投影到像素坐标系下的p点。在推导相机的内参矩阵时，为了使等式左右两边维度相同，我们把
文章图片
写成齐次坐标形式
文章图片
，如下式：
文章图片
所以对于P1，P2，P3三点与齐次坐标
文章图片
的关系为：
Z1 * p = K * P1； Z2 * p = K * P2； Z3 * p = K * P3
则 p =(K * P1 ) / Z1 = (K * P2 ) / Z2 = (K * P3 ) / Z3， 我们发现，齐次坐标
文章图片
乘以非零常数后依然表示同一个投影点，只不过空间点P位置变了，但都在
文章图片
这条射线上，齐次坐标
文章图片
乘以不同的非零常数表示不同距离的空间点在像素平面的投影，就是这条射线上的点均投影到 p 点。这也表明了单目相机的一张图像没法确定深度。另外也可参考另一个博客。
由以上解释可以看出，使用齐次坐标可以使相机模型计算更加方便，灵活性更高，乘以非零常数后仍表示同一个点。
接上面的公式3，令
文章图片
公式4 很明显，
文章图片
是上面图1中两个像素点 
文章图片
的相机归一化平面上的坐标（相机坐标系下）。
则将公式4带入公式3中，得到： 
文章图片
, 
文章图片
， 最终得到：
文章图片
公式5 两边同时左乘 
文章图片
，得到：
文章图片
公式6 两侧同时左乘
文章图片
，得到：
文章图片
公式7 由于
文章图片
，所以有：
文章图片
公式8 重新代入
文章图片
，得到：
文章图片
公式9 这两个式子都称为对极约束。通过定义基础矩阵F和本质矩阵E进一步简化上式：
文章图片
公式10 E 和 F 只相差了相机内参，求出E或者F就可以通过分解求出R和t。通常内参是已知的，求解E会更方便。
二、本质矩阵 根据定义，本质矩阵
文章图片
，它是一个 3 × 3 的矩阵,内有 9 个未知数。E满足如下条件：
（1）E满足对极约束： 
文章图片
，由于对极约束是等式为零的约束，所以对 E 乘以任意非零常数后，对极约束依然满足，这称为 E 在不同尺度下是等价的，即尺度等价性。
（2）根据
文章图片
， 可以证明，本质矩阵 E 的奇异值必定是 [σ, σ, 0]T 的形式。这称为本质矩阵的内在性质。（推导可见另一博客）
（3）另一方面,由于平移和旋转各有三个自由度，故
文章图片
共有六个自由度。但由于尺度等价性,故 E 实际上有五个自由度。
E的求解：
E 具有五个自由度的事实,表明我们最少可以用五对点来求解 E。但是，E 的内在性质是一种非线性性质,在求解线性方程时会带来麻烦。
问题（2）：本质矩阵E为什么是尺度等价的？
问题（3）：本质矩阵E的奇异值为什么是 [σ, σ, 0]T，怎么求？
问题（4）：本质矩阵E为什么有5个自由度？
这三个问题的答案墙裂推荐一篇有道云笔记（备用链接），该笔记从最基础的矩阵理论出发，一步步解释了本质矩阵、基础矩阵以及单应矩阵的性质和求解方法，新手必备。
【slam入门3（2D-2D对极几何中的对极约束公式详细解释（参考 视觉slam十四讲））】
