前言
本文对泰勒公式的由来以及证明做一些简单的总结，方便自己在闲暇时品读。
本人对泰勒公式的记忆只停留在大学时期的期末考试复习阶段，说来也是十分的惭愧。
俗话说，温故而知新，可以为师矣，以下内容均来自于知乎大神承志。
一、泰勒公式的用途 泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能会非常的麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。
从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。
二、泰勒公式的定义 我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们如何去求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。
举个例子：
文章图片
这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δ x \Delta x Δx 的减小，点P 0 P_0 P0? 和P P P 也会越来越接近，这就带来了Δ y \Delta y Δy 越来越接近Δ x ? f ′ ( x 0 ) \Delta x \cdot f'(x_0) Δx?f′(x0?) 。
当然，当Δ x \Delta x Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f ( x ) f(x) f(x) 在区间内一直有( n + 1 ) (n+1) (n+1) 阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：
P n ( x ) = a 0 + a 1 ( x ? x 0 ) + a 2 ( x ? x 0 ) 2 + ? + a n ( x ? x 0 ) n ? ? ① P_n(x) = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + \cdots + a_n (x - x_0)^n \quad \text{$\cdots$①} Pn?(x)=a0?+a1?(x?x0?)+a2?(x?x0?)2+?+an?(x?x0?)n?①
我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是( x ? x 0 ) n (x - x_0)^n (x?x0?)n 的高阶无穷小。也就是说误差比上( x ? x 0 ) n (x - x_0)^n (x?x0?)n 的极限是0 0 0 。
前面已经提到过，我们是通过导数来逼近的，所以我们假设：
P n ( x 0 ) = f ( x 0 ) , P n ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) P n ′ ′ ( x 0 ) = f ′ ′ ( x 0 ) , ?? ? ? , ?? P n ( n ) ( x 0 ) = f ( n ) ( x 0 ) ? ? ② P_n(x_0) = f(x_0), \quad P_n'(x_0) = f'(x_0) \\ P_n''(x_0) = f''(x_0), \;
\cdots,\;
P_n^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) \quad \text{$\cdots$②} Pn?(x0?)=f(x0?),Pn′?(x0?)=f′(x0?)Pn′′?(x0?)=f′′(x0?),?,Pn(n)?(x0?)=f(n)(x0?)?②
按照这个假设我们可以很方便地得到多项式的系数{ a 0 , a 1 , ? ? , a n } \{a_0, a_1, \cdots, a_n\} {a0?,a1?,?,an?} 了，其实很简单，我们只需将上述式①和式②结合计算便可求得：
a 0 = f ( x 0 ) , 1 ? a 1 = f ′ ( x 0 ) 2 ! ? a 2 = f ′ ′ ( x 0 ) , ?? ? ? , ?? n ! ? a n = f ( n ) ( x 0 ) ? ? ③ a_0 = f(x_0), \quad 1 \cdot a_1 = f'(x_0) \\ 2! \cdot a_2 = f''(x_0), \;
\cdots, \;
n! \cdot a_n = f^{(n)}(x_0) \quad \text{$\cdots$③} a0?=f(x0?),1?a1?=f′(x0?)2!?a2?=f′′(x0?),?,n!?an?=f(n)(x0?)?③
我们再将式③代入到式①中即可得到：
P n ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x ? x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x ? x 0 ) 2 + ? + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x ? x 0 ) n P_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n Pn?(x)=f(x0?)+f′(x0?)(x?x0?)+2!f′′(x0?)?(x?x0?)2+?+n!f(n)(x0?)?(x?x0?)n
三、泰勒公式的证明 其实上面的式子就是泰勒公式的内涵了，也就是说我们通过高阶导数来逼近了原函数。最后我们只需要证明这个式子就是我们想要的，也就是它的误差足够小。
我们同样用一个函数R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 来表示P n ( x ) P_n(x) Pn?(x) 与原函数f ( x ) f(x) f(x) 的差值。我们直接比较P n ( x ) P_n(x) Pn?(x) 和f ( x ) f(x) f(x) 的大小比较困难，所以数学家采取了一系列花里胡哨、叹为观止的操作。
我们带入一下可以发现，R n ( x 0 ) = 0 R_n(x_0) = 0 Rn?(x0?)=0 ，不仅如此：
R n ′ ( x 0 ) = R n ′ ′ ( x 0 ) = ? = R n ( n ) ( x 0 ) = 0 ? ? ④ R_n'(x_0) = R_n''(x_0) = \cdots = R_n^{(n)}(x_0) = 0 \quad \text{$\cdots$④} Rn′?(x0?)=Rn′′?(x0?)=?=Rn(n)?(x0?)=0?④
这里我们以R n ′ ( x 0 ) = 0 R_n'(x_0) = 0 Rn′?(x0?)=0 为例进行证明：
R n ( x ) = P n ( x ) ? f ( x ) R_n(x) = P_n(x) - f(x) Rn?(x)=Pn?(x)?f(x)
? R n ′ ( x ) = P n ′ ( x ) ? f ′ ( x ) \Rightarrow R_n'(x) = P_n'(x) - f'(x) ?Rn′?(x)=Pn′?(x)?f′(x)
? R n ′ ( x ) = [ f ′ ( x 0 ) + 2 ? f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x ? x 0 ) + ? + n ? f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x ? x 0 ) n ? 1 ] ? f ′ ( x ) \Rightarrow R_n'(x) = [f'(x_0) + 2 \cdot \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0) + \cdots + n \cdot \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^{n-1}] - f'(x) ?Rn′?(x)=[f′(x0?)+2?2!f′′(x0?)?(x?x0?)+?+n?n!f(n)(x0?)?(x?x0?)n?1]?f′(x)
? R n ′ ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ? f ′ ( x 0 ) = 0 \Rightarrow R_n'(x_0) = f'(x_0) - f'(x_0) = 0 ?Rn′?(x0?)=f′(x0?)?f′(x0?)=0
证毕。
很明显，因为求导后存在大量的携带有x ? x 0 x - x_0 x?x0? 的多项式，当x = x 0 x = x_0 x=x0? 的时候，可以得到式④的结论。
到这里，我们需要进行一个猜测：根据上面的规律，以及我们的目标——证明这个R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 函数是一个关于( x ? x 0 ) n (x - x_0)^n (x?x0?)n 的无穷小，所以我们可以进一步猜测R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 应该是一个与( x ? x 0 ) n + 1 (x - x_0)^{n+1} (x?x0?)n+1 相关的函数。
有了这个猜测之后，我们套用一下柯西中值定理：
f ( b ) ? f ( a ) F ( b ) ? F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) \frac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \frac{f'(\xi)}{F'(\xi)} F(b)?F(a)f(b)?f(a)?=F′(ξ)f′(ξ)?
我们令f ( x ) = R n ( x ) , ?? F ( x ) = ( x ? x 0 ) n + 1 f(x) = R_n(x), \;
F(x) = (x - x_0)^{n+1} f(x)=Rn?(x),F(x)=(x?x0?)n+1 ，套用中值定理可以得到：
R n ( x ) ( x ? x 0 ) n + 1 = R n ( x ) ? 0 ( x ? x 0 ) n + 1 ? 0 = R n ( x ) ? R n ( x 0 ) F ( x ) ? F ( x 0 ) \frac{R_n(x)}{(x - x_0)^{n+1}} = \frac{R_n(x) - 0}{(x - x_0)^{n+1} - 0} = \frac{R_n(x) - R_n(x_0)}{F(x) - F(x_0)} \\ (x?x0?)n+1Rn?(x)?=(x?x0?)n+1?0Rn?(x)?0?=F(x)?F(x0?)Rn?(x)?Rn?(x0?)?
= R ′ ( ξ 1 ) F ′ ( ξ 1 ) = R n ′ ( ξ 1 ) ( n + 1 ) ( ξ 1 ? x 0 ) n , ( ξ 1 ∈ ( x 0 , x ) ) = \frac{R'(\xi_1)}{F'(\xi_1)} = \frac{R_n'(\xi_1)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n}, \quad (\xi_1 \in (x_0, x)) =F′(ξ1?)R′(ξ1?)?=(n+1)(ξ1??x0?)nRn′?(ξ1?)?,(ξ1?∈(x0?,x))
有了这个结论之后，我们再对函数R n ′ ( ξ 1 ) R_n'(\xi_1) Rn′?(ξ1?) 和( n + 1 ) ( ξ 1 ? x 0 ) n (n + 1)(\xi_1 - x_0)^n (n+1)(ξ1??x0?)n 在区间( x 0 , ξ 1 ) (x_0, \xi_1) (x0?,ξ1?) 上再次应用柯西中值定理：
R n ′ ( ξ 1 ) ( n + 1 ) ( ξ 1 ? x 0 ) n = R n ′ ( ξ 1 ) ? 0 ( n + 1 ) ( ξ 1 ? x 0 ) n ? 0 = R n ′ ( ξ 1 ) ? R n ′ ( x 0 ) ( n + 1 ) ( ξ 1 ? x 0 ) n ? ( n + 1 ) ( x 0 ? x 0 ) n \frac{R_n'(\xi_1)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n} = \frac{R_n'(\xi_1) - 0}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n - 0} = \frac{R_n'(\xi_1) - R_n'(x_0)}{(n + 1)(\xi_1 - x_0)^n - (n + 1)(x_0 - x_0)^n} (n+1)(ξ1??x0?)nRn′?(ξ1?)?=(n+1)(ξ1??x0?)n?0Rn′?(ξ1?)?0?=(n+1)(ξ1??x0?)n?(n+1)(x0??x0?)nRn′?(ξ1?)?Rn′?(x0?)?
= R n ′ ′ ( ξ 2 ) n ( n + 1 ) ( ξ 2 ? x 0 ) n ? 1 , ( ξ 2 ∈ ( x 0 , ξ 1 ) ) = \frac{R_n''(\xi_2)}{n(n + 1)(\xi_2 - x_0)^{n-1}}, \quad (\xi_2 \in (x_0, \xi_1)) =n(n+1)(ξ2??x0?)n?1Rn′′?(ξ2?)?,(ξ2?∈(x0?,ξ1?))
接下来就是熟悉的套娃环节了，经过一共n + 1 n+1 n+1 次套娃之后，我们可以得到：
R n ( x ) ( x ? x 0 ) n + 1 = R n ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! , ( ξ ∈ ( x 0 , ξ n ) ) ? ? ⑤ \frac{R_n(x)}{(x - x_0)^{n+1}} = \frac{R_n^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}, \quad (\xi \in (x_0, \xi_n)) \quad \text{$\cdots$⑤} (x?x0?)n+1Rn?(x)?=(n+1)!Rn(n+1)?(ξ)?,(ξ∈(x0?,ξn?))?⑤
我们对P n ( x ) P_n(x) Pn?(x) 求n + 1 n+1 n+1 次导数，可以得到0 0 0 ，因为所有项最高次项只有n n n 次，求n + 1 n+1 n+1 次导数之后全部变成0 0 0 。也就是说P n ( n + 1 ) ( x ) = 0 P_n^{(n+1)}(x) = 0 Pn(n+1)?(x)=0 ，所以R n ( n + 1 ) ( x ) = f ( n + 1 ) ( x ) R_n^{(n+1)}(x) = f^{(n+1)}(x) Rn(n+1)?(x)=f(n+1)(x) ，我们把这项代入到式⑤中，即可得到：
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x ? x 0 ) n + 1 , ( ξ ∈ ( x 0 , x ) ) R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}, \quad (\xi \in (x_0, x)) Rn?(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)?(x?x0?)n+1,(ξ∈(x0?,x))
四、误差的证明 接下来我们要证明这个误差R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 是( x ? x 0 ) n (x - x_0)^{n} (x?x0?)n 的高阶无穷小。
到这里，证明就很简单了，在固定的区间( a , b ) (a, b) (a,b) 中，很明显函数f ( n + 1 ) ( x ) f^{(n+1)}(x) f(n+1)(x) 存在最大值，我们假设这个最大值是M M M 。也就是说f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M , ?? x ∈ ( a , b ) f^{(n+1)}(x) \leq M, \;
x \in (a, b) f(n+1)(x)≤M,x∈(a,b) 。
那么：
lim ? x → x 0 R n ( x ) ( x ? x 0 ) n ≤ lim ? x → x 0 M ( n + 1 ) ! ( x ? x 0 ) n + 1 ( x ? x 0 ) n = lim ? x → x 0 M ( x ? x 0 ) ( n + 1 ) ! \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n} \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\frac{M}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}}{(x-x_0)^n} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{M(x - x_0)}{(n+1)!} x→x0?lim?(x?x0?)nRn?(x)?≤x→x0?lim?(x?x0?)n(n+1)!M?(x?x0?)n+1?=x→x0?lim?(n+1)!M(x?x0?)?
由于x x x 逼近x 0 x_0 x0? ，M M M 是一个常数，所以这个极限趋向于0 0 0 ，我们可以用极限的定义很容易证明。于是我们证明了，误差R n ( x ) R_n(x) Rn?(x) 是比( x ? x 0 ) n + 1 (x - x_0)^{n + 1} (x?x0?)n+1 更高阶的无穷小。
所以我们可以得到：
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x ? x 0 ) + f ′ ′ ( x 0 ) 2 ! ( x ? x 0 ) 2 + ? + f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x ? x 0 ) n + R n ( x ) f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x) f(x)=f(x0?)+f′(x0?)(x?x0?)+2!f′′(x0?)?(x?x0?)2+?+n!f(n)(x0?)?(x?x0?)n+Rn?(x)
由于我们一共用到了n n n 阶导数来表达原函数，所以我们称为这是原函数f ( x ) f(x) f(x) 的n n n 阶泰勒展开。最后的：
R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x ? x 0 ) n + 1 , ( ξ ∈ ( x 0 , x ) ) R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}, \quad (\xi \in (x_0, x)) Rn?(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)?(x?x0?)n+1,(ξ∈(x0?,x))
我们称它为拉格朗日余项。我们也可以简写为o [ ( x ? x 0 ) n ] o[(x - x_0)^n] o[(x?x0?)n] ，它称为佩亚诺型余项，其实和拉格朗日余项是一回事，只是写的形式不同。
我们如果令x 0 = 0 x_0 = 0 x0?=0 的话，还可以将式子进一步化简。由于ξ ∈ ( 0 , 1 ) \xi \in (0, 1) ξ∈(0,1) ，所以我们可以令ξ = θ x , ?? ( 0 < θ < 1 ) \xi = \theta x, \;
(0 \lt \theta \lt 1) ξ=θx,(0<θ<1) ，原公式可以写成：
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ? + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + f ( n + 1 ) ( θ x ) ( n + 1 ) ! x n + 1 , ( 0 < θ < 1 ) f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}, \quad (0 \lt \theta \lt 1) f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)?x2+?+n!f(n)(0)?xn+(n+1)!f(n+1)(θx)?xn+1,(0<θ<1)
和上面的式子相比，这个式子要简单许多，它也有一个名字，叫做麦克劳林公式。在麦克劳林公式下的佩亚诺余项写成o ( x n ) o(x^n) o(xn) ，看起来也非常简单。
如果觉得上面的式子有点多记不过来可以忽略原式，只需要记住麦克劳林公式即可。对于拉格朗日余项，我们也只会在计算误差的时候用到，在不需要考虑误差的场景下也可以忽略。
五、实例 下面我们来看一个实际的例子，来感受一下泰勒公式的强大。
【关于泰勒公式】我们都知道有一些函数的值我们很难直接计算，比如f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex ，和正弦余弦函数等。由于e e e 本身就是一个无理数，有没有想过我们怎么来求一个带e e e 的函数值？其实很多时候，就是用的泰勒公式。
我们就用f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex 举例，看看怎么利用泰勒公式来计算e x e^x ex 。
为了简化计算，我们显然考虑麦克劳林公式。由于x = 0 x = 0 x=0 时，e x = 1 e^x=1 ex=1 ，并且f ′ ( x ) = e x f'(x) = e^x f′(x)=ex 。
所以我们可以得到：
f ′ ( 0 ) = f ′ ′ ( 0 ) = f ′ ′ ′ ( 0 ) = ? = f ( n ) ( 0 ) = 1 f'(0) = f''(0) = f'''(0) = \cdots = f^{(n)}(0) = 1 f′(0)=f′′(0)=f′′′(0)=?=f(n)(0)=1
代入泰勒公式，可以得到：
e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ? + 1 n ! x n + e θ x ( n + 1 ) ! x n + 1 e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots + \frac{1}{n!} x^n + \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1} ex=1+x+2!1?x2+3!1?x3+?+n!1?xn+(n+1)!eθx?xn+1
我们如果把最后一项当成误差，那么可以得到：
e x ≈ 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ? + 1 n ! x n e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \cdots + \frac{1}{n!} x^n ex≈1+x+2!1?x2+3!1?x3+?+n!1?xn
当n = 10 , ?? x = 1 n = 10, \;
x = 1 n=10,x=1 时，产生的误差为：
e θ x ( n + 1 ) ! x n + 1 ≤ e 11 ! < 3 11 ! \frac{e^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1} \leq \frac{e}{11!} \lt \frac{3}{11!} (n+1)!eθx?xn+1≤11!e?<11!3?
我们稍微算一下就可以知道，这个误差小于1 0 ? 6 10^{-6} 10?6 ，已经足够接近了。也就是说我们把原本不太好计算的函数转化成了若干个多项式的和，可以非常简单地获得一个足够接近的近似值。并且除此之外，我们还能算出它的最大误差，实在是太完美了。
六、一些思考 到这里还没有结束，看完所有的推导和计算之后，不知道你们有没有一个疑惑，这么一个牛叉并且复杂并且有用的公式，泰勒是如何能够想到的呢？好像用一时的灵感很难解释。毕竟人的灵感往往都是一瞬间对某个点的顿悟，而这么多公式和结论是很难顿悟的。
之前上学的时候我完全没有意识到这个问题，这次重温的时候才觉得不对。当然你可能会说这里有这么多数学家的名字，这显然不是一个人的功劳。但即使是这样，我仍然好奇，这么伟大的公式是在多么的因缘巧合之下被人类给发明出来的？
我们设想一个问题，如果f ( x ) = g ( x ) f(x)=g(x) f(x)=g(x) ，那么显然f ( x ) f(x) f(x) 和g ( x ) g(x) g(x) 的各阶导数全都相等。那么问题来了，如果我们人为地构造一个函数h ( x ) h(x) h(x) ，使得它的各阶导数和g ( x ) g(x) g(x) 吻合，那么是不是可以认为这个我们人为构造出来的函数也和g ( x ) g(x) g(x) 相等呢？
然而有些函数的高阶导数是无穷无尽的，我们不可能人工全部拟合，所以只能退而求其次，拟合其中的n n n 项。显然这样做会存在误差，那么我们需要知道这个误差的大小。于是就有了后面的拉格朗日余项大小的推算。
泰勒公式的出现和推导过程正是基于这样的思路应运而生的，想到这里，如果我们把各阶导数的项看成是特征数据，那么这个问题就转化成了机器学习当中的回归问题，只不过在机器学习当中我们是设定了优化目标和优化方法，让模型自行训练来拟合逼近，而泰勒公式其实是通过思维和数学的力量推算出了结果，两者的目的和结果是一样的，但是过程完全迥异，两个看似完全风马牛不相及的问题殊途同归，不得不说数学的魅力真的很是令人折服。
