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关于函数泰勒展开的关键知识点深入分析

数学

泰勒展开必须展开到无穷项（就是为什么下面条件中要求的任意阶导数必须存在），累加求和才可以与f（x）精确相等，其要求的条件：
在x0点的任意阶导数都存在，注：导数等于0也是导数存在，如x^2任意阶导数就是存在的。x0点导数不存在指导数无穷大或者左右导数不相等。

那么f（x）就能精确相等的泰勒展开成如下式子：
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，其中n趋于无穷大
严格展开成了上面的无穷项求和形式了，因此我们可以得到下面推论：
x是否趋近于x0，都无所谓，上式总是精确相等成立的。但是当f（x）存在奇异性，即当x远离x0后的某点x1处，f（x）不存在任意阶导数了，那么上面的泰勒展开从这个点开始就会失效（即不相等了），以及后面的点也会失效，要想再次精确相等的展开，必须在这后面的某个存在任意阶导数的点x2处再次进行上面的泰勒展开即可。

但是，但是，但是，现实中，我们不可能按照理想数学的展开成无穷项，比如我们只想展开到n项（这里的n是个确定的数，而不是无穷大），那么剩下的∞-n项岂不是丢掉了？（也就是我们漏掉了某些项，即这些项被我们人为的认为这一阶导数=0了（原本f（x）的这几阶导数不是0或者根本不存在），即存在某些阶导数跟f（x）的这几阶导数不相等，我们强行泰勒展开，就会不精确相等）不，为了保证上面的泰勒展开的式子等号依然成立，即我们还是想展开式和f（x）精确相等，我们就用一个余项（是一项）来代替上面剩下未能展开的所有项了，如下所示：
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+关于函数泰勒展开的关键知识点深入分析
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其中θ∈（0,1），这里的n不再是趋于无穷大，剩下的∞-n项求和就用关于函数泰勒展开的关键知识点深入分析
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来代替即可，我们给它取个名字，叫做余项Rn(x)，我们看到这一项跟前面的项都是一样的形式，但是导数项参数不再是x0，而是一个介于【x0，x】之间的某个数，那么这个数到底是多少呢，谁也不知道，只是泰勒本人自己认为的存在这么一个数，而且经过证明（这里就不给出这个证明了，还用到了柯西中值定理，感兴趣的自己去了解一下，我看的是华南理工大学王全迪那本高等数学），确实是存在这个数的，使得上面的泰勒展开的等号严格成立。也就是说，其实这一项的值我们实际上是不可知道的，不过没关系，题目叫我们展开的时候，就按照这样展开即可。
比如，e^x在x0=0这一点的泰勒展开，x0=0点的展开也叫麦克劳林展开：
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n不是趋于无穷大，我们可以看到剩下的∞-n项都用余项关于函数泰勒展开的关键知识点深入分析
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代替了，其中θx为【0，x】之间的某个数，等号依然是成立的。

但是，但是，但是，刚才说了，因为这个余项关于函数泰勒展开的关键知识点深入分析
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的值也是未知的，工程中应用的时候，所以连这个余项我们最好也给它去掉，那么上面等号肯定就不能成立了，也就是这样只展开成有限项，会造成余项值Rn（x）的误差，即工程中就是用这一项来做误差估计的，只要给定的精度值满足我们展开式要求了，那么我们就没必要展开成无穷项累加求和，减小计算量。
当x趋近于x0时候，经过证明，有Rn(x) = o(x-x0)^n（也叫做皮诺若余项），说明x趋近于x0时候，余项的值（误差值）是一个高阶无穷小的数了，此时就很容易满足给定的误差值内了。
即x趋近于x0时，泰勒展开用很少的项（即很小的n值）的累加求和即可很精确的计算出此时的f（x）的值了。当x远离x0时，误差会越来越大，满足同样误差要求，会需要更多的展开项进行累加求和才行。

比如，e^x在x0=0这一点的泰勒展开，x趋近于x0时候：也叫做，带有皮亚诺余项的麦克劳林展开式：
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