Mathematics|Matlab与数值计算基础数值计算|Matlab

数值计算基础数据插值
数据插值可分为多项式（高次）插值、分段（低次）插值、三角插值等。多项式插值包括Lagrange插值、Aitken插值、Newton插值、Hermite插值，但高次插值会出现Runge现象，因此更多使用分段低次样条插值。
使用最多的为三次样条插值。

yi = spline(x,y,xi) pp = spline(x,y) pp = csape(x,y,conds,valconds) valconds: 'complete'固定边界条件 'not-a-knot'非扭结边界条件（默认） 'periodic'周期边界条件 'second'自由边界条件 'variational'自然边界条件

数据拟合

工具箱：cftool + Code Generation
函数：fit

fitobject = fit(x,y,fitType) fitobject = fit([x,y],z,fitType)

FitType	Equation
poly1	Y = p1*x+p2
poly2	Y = p1x^2+p2x+p3
poly21	Z = p00 + p10x + p01y + p20x^2 + p11x*y
poly13	Z = p00 + p10x + p01y + p11xy + p02y^2 + p12xy^2 + p03y^3
weibull	Y = abx(b-1)exp(-axb)
exp1	Y = aexp(bx)
exp2	Y = aexp(bx)+cexp(dx)
fourier1	Y = a0+a1cos(xp)+b1sin(xp)
fourier2	Y = a0+a1cos(xp)+b1sin(xp)… +a2cos(2xp)+b2sin(2xp)
gauss1	Y = a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)
gauss2	Y = a1exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2… exp(-((x-b2)/c2)^2)
power1	Y = a*x^b
power2	Y = a*x^b+c
rat02	Y = (p1)/(x^2+q1*x+q2)
rat21	Y = (p1x^2+p2x+p3)/(x+q1)
sin1	Y = a1sin(b1x+c1)
sin2	Y = a1sin(b1x+c1)+a2sin… (b2x+c2)

数值积分

函数	说明
int	符号函数
trapz	非函数表达式梯形积分
quad	自适应Simpson积分，对非光滑函数最为有效的地低阶积分
quadl	适用于光滑函数，在高精度时比quad更有效
quadgk	对震荡的被积函数最有效，支持无限区间积分，允许积分区间短点有若的奇异性
quadv	quad积分函数的向量化版本
quad2d	平面区域的二重积分，为通用的二重积分，可以做变上限、下限积分
dblquad	矩形区域的二重积分
triplequad	长方体区域的三重积分

常微分方程
常微分方程求解器比较

求解器	刚性	算法	应用差场合
ode45	非刚性	单步，4-5阶龙格-库塔	首选，大多数场合
ode23	非刚性	单步，2-3阶龙格-库塔	精度较低场合
ode113	非刚性	多步，1-13阶Adams算法	若ode45计算时间长，尝试ode113
ode15s	刚性	多步，Gear’s反向数值积分	存在质量矩阵时
ode23s	刚性	单步，2阶Rosenbrock算法	低精度或存在质量矩阵时
ode23t	中等刚性	梯形算法	中等刚度问题
ode23tb	刚性	梯形-反向数值微分两阶段算法	低精度或存在质量矩阵
ode15i	完全隐式	可以求解完全隐式的常微分方程	完全隐式方程

【Mathematics|Matlab与数值计算基础】使用odefile.m模板求解常微分方程

function varargout = odefile(t,y,flag,p1,p2)switch flag case '' varargout{1} = f(t,y,p1,p2); case 'init' [varargout{1:3}] = init(p1,p2); case 'jacobian' varargout{1} = jacobian(t,y,p1,p2); case 'jpattern' varargout{1} = jpattern(t,y,p1,p2); case 'mass' varargout{1} = mass(t,y,p1,p2); case 'events' [varargout{1:3}] = events(t,y,p1,p2); otherwise error['Unknown flag']; endfunction dydt = f(t,y,p1,p2) dydt = <在此插入常微分方程>; function [tspan,y0,options] = init(p1,p2) tspan = <在此插入求解范围>; y0 = <在此插入初值>; options = <在此插入选项设置，可设置为[]>; function dfdy = jacobian(t,y,p1,p2) dfdy = <再此插入雅克比矩阵>; function S = jpattern(t,y,p1,p2) S = <在此插入雅克比矩阵系数模式>; function M = mass(t,y,p1,p2) M = <在此插入质量矩阵>; function [value,isterminal,direction] = events(t,y,p1,p2) value = https://www.it610.com/article/<在此插入时间向量函数>; isterminal = <在此插入逻辑向量>; direction = <在此插入方向向量>;