例一 【应用泰勒公式求极限时的无穷小分析】
limx→0ln(sin2x+ex)?xln(x2+e2x)?2x 正解：
原式等价于
limx→0ln(sin2x+ex)?lnexln(x2+e2x)?lne2x
化简得 limx→0ln(1+sin2x/ex)ln(1+x2/e2x)
使用泰勒公式对
ln(1+sin2x/ex)
和 ln(1+x2/e2x)
展开得到
sin2x/ex+o(sin2x/ex)
和 x2/e2x+o(x2/e2x)
带入原式得
limx→0sin2x/ex+o(sin2x/ex)x2/e2x+o(x2/e2x) 化简得
limx→0sin2x?exx2
应用洛必达法则求得原式=1 错解:
对
ln(sin2x+ex)
进行泰勒展开得到
sin2x+ex?1+o(sin2x+ex?1)
对 ln(x2+e2x)
进行泰勒展开得到
x2+e2x?1+o(x2+e2x?1) 带入原式得
limx→0sin2x+ex?1+o(sin2x+ex?1)?xx2+e2x?1+o(x2+e2x?1)?2x 化简得
limx→0sin2x+ex?1?xx2+e2x?1?2x 两次应用洛必达法则，得原式等价于
limx→02cos2x+ex2+4e2x 解得原式=1/2
错误原因在于错误地舍弃了两个高阶无穷小，对于分子来说
o(sin2x+ex?1)
虽然是 sin2x+ex?1
的高阶无穷小，却不是 sin2x+ex?1?x
的高阶无穷小， o(sin2x+ex?1)
可能与其是同阶的，所以舍去会造成错误，分母同理。
为何舍去会错误的详细证明请读者自行思考。
在(a+b)/(c+d)这样的式子中，若对a,b,c,d分别进行泰勒展开，一定要做好无穷小分析，确定应该展开多少项，否则随意展开成若干项，很容易产生错误。
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