一、实向量的内积与正交
1、定义：对任意的
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，实数 
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，称为
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与
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的内积，
【线性代数笔记——内积与正交】记作
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.
2、性质对任意的
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，
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，
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,有
（1）
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;
（2）
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;
（3）
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;
（4）
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，并且 
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当且仅当 
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.
3、定义：对
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中的任意向量
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，非负实数 
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称为
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的长度.
（1）如果
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，称
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为单位向量.
（2）如果 
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，
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,显然
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当且仅当
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；
（3）如果
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，则长度为1的向量
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称为
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的规范化或单位化.
4、定理12对任意的 
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，有 
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.(Cachy—Schwarz不等式)
5、定义：设
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，如果
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，则称
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与
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正交.
因为对任意的
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都有 
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，所以零向量与任意向量正交.
6、对任意的
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，都有
（1）
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；
（2）如果
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与
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正交，则 
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.
证明：①因为 
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所以
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.
②因为
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与
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正交，所以
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，因此，
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证毕
二、规范正交向量组
1、定义：设
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都向量空间
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中的非零向量，如果向量组
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中的向量两两正交，则称
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为
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中的正交向量组.如果正交向量组
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中的向量都是单位向量，则称
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为规范正交向量组.约定只含一个非零向量的向量组是正交向量组.
2、如果
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是向量空间
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中的正交向量组，则
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是线性无关的.
证明：设 
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，满足
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,对任意的 
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,一方面
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即
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，另一方面
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，因此 
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因为 
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,所以
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，于是得到 
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.因此，
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线性无关.证毕
3、定理13设 
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是R上的向量空间，如果
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是V中的线性无关向量组，那么存在V中的正交向量组
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，使得 
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.
证明：对向量的个数s用数学归纳法.
（1）当s=1时，令
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，结论显然成立.
（2）假设向量个数为s时，结论成立，即存在正交向量组
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，使得
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,下面证明当向量个数为s+1时，结论也成立，希望找到
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使得
①
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②
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是正交向量组.
为此，设
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，因为要求
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是正交向量组，所以
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因此，
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于是
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由构造方法知
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是正交向量组，并且
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.证毕
4、定理14设
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是R上的向量空间，如果
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是V中的线性无关向量组，那么V中存在规范正交向量组
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,使得
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5、定理13与定理14中的将详细无关向量组化为规范正交向量组的方法称为施密特正交规范化方法.
三、规范正交基
1、设
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是R上的向量空间，如果
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是V的基，如果
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是正交向量组，则称为V的正交基；
如果
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是规范正交向量组，则称为V的规范正交基.
2、定理15R上的m维向量空间V中一定存在规范正交基.
3、命题19如果
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是R上的向量空间V的规范正交基，则V中任意向量
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在基
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下的坐标为
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即 
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.
证明：设V中的向量
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在基
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下的坐标为
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,即
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,
对所有的
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，
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与
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的内积有
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. 证毕
4、命题20R上的向量空间V中的正交向量组可以扩充为V的正交基；规范正交向量组可以扩充为V的规范正交基.
四、正交矩阵
1、定义：向量空间
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的规范正交基
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按列构成的n阶矩阵 
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称为正交矩阵.
设
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是
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中的向量组，
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.
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2、命题21n阶实矩阵Q为正交矩阵的充分必要条件是 
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.
推论1
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，n阶实矩阵Q为正交矩阵的充分必要条件是
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.
推论2
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，向量空间
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的规范正交基按行构成的n阶矩阵是正交矩阵.
推论3正交矩阵的转置是正交矩阵.
3、例题
设
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，是
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中的一个向量组，求向量空间
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的一个规范正交基.
解：将向量组
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按列排成
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矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形
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因为A的阶梯形的主元位于第1,3,4列，所以
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是
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的极大无关组.
因此，
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是
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的基，将
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正交化
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将
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规范化
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因此，
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是向量空间
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的一个规范正交基.
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