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最大公因数的前世今生 最大公因数

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最大公因式(最大公因式的前世)
1最大公因数是什么？最大公约数，又称最大公约数、最大公约数，是指两个或两个以上整数的最大公约数 。的最大公因数可以记为或，多个整数的最大公因数符号相同 。求最大公因式的方法有很多 ， 比如质因数分解 ， 短除法，这些我们小学都学过 。
所以你有这个问题:最大公因式最早出现在哪里？
欧几里得和辗转反侧的除法事实上，古希腊数学家欧几里德是第一个系统研究最大公因式的人 。但是，当时还没有系统的代数 。相应的 ， 几何学明显从数学中分离出来，主导了希腊科学 。它的力量如此之大，以至于所有纯算术或代数问题都被翻译成几何语言 。
欧几里德在《几何原本》第ⅶ卷中用线段及其长度解释了最大公因式问题，凝练出了世界上最早的算法——逆序除法(也叫欧几里德算法)，可见于定义ⅶ.12、命题ⅶ.1、命题ⅶ.2 。
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定义七. 12:只能作为约定单位量来度量(整除)的几个数称为互质数 。
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命题ⅶ.1:有两个不相等的数 。从大数中连续减去小数，直到余数小于小数，然后从小数中连续减去余数，直到小于余数 。这样下去 。如果余数直到最后一个余数是一个单位才能度量前一个数，那么这两个数就是质数 。
如上图所示，有两个不相等的和 。从大数中不断减去小数，直到小于小数，然后从小数中不断减去余数，直到小于余数 。这样，余数永远无法度量前一个数，直到最后的余数是一个单位 。
验证:和互质，即只有一个单位可以测量和 。
证明:如果sum不是素数，那么总有一些数来度量它们并使它们(在这里) 。
订单:已测量，剩余少于 。订单:已测量，剩余少于 。订单:测量的剩余单位数量 。
因为考完了，考完了，所以:考完了 。
因为是测试出来的，所以测试出来的是残值 。
同样，残值也是可以衡量的 。
最终可以测出单位量，这是不可能的 ， 因为 。
所以:和谐只能作为公约的单位量来衡量 ， 即:和谐互质(定义VII.12) 。
现代数学语言在《几何原本》中不再使用欧几里得的术语 。“测量”和“被测量”这两个词已经被“划分”和“可分”所取代 。这个命题的证明曾经使用过辗转相除法:从两个数开始，用较大的数反复减去较小的数，但这里为了说明两个数的相互性质，假设1是辗转相除法的最终结果 。
“
命题七. 2:给定两个互不质数，你可以找到它们的最大公因数(通过辗转相除) 。
如上图所示 ， 设sum为两个不是质数的数 。现在需要的是:求sum的最大公因式 。
这里需要分类讨论:
①如果可以度量，那一定是sum的最大公因式 。
②如果无法测量 ， 那么:用余数来测量；如果无法测量 ， 就用后面的余数来测量前面的余数，直到后面的余数测量到前面的余数 。
这个最后的余数不是一个单位，否则就是互质，与假设相矛盾 。所以:某个数可以度量它之前的数的余数 。
在这里，类似于命题ⅶ.1的操作 ， 度量，度量，并设定最终度量 。同样可以推导出和是可以同时度量的，这是和的一个公因数 。
下面进一步说明一定是最大的 。
如果它不是总和的最大公因数，那么某个大于的数必须同时度量总和 。
然后，因为它度量所有，它度量所有，它度量所有，所以它度量所有的残值 。同样，它度量所有的残值 ， 但这是不可能的，因为较大的数不能度量较小的数，这是矛盾的 。
所以不存在大于测量和的数，也就是和的最大公因式 。
在这个命题中，再次用相除法求两个非质数的最大公因数，大数反复减数，直到余数小于小数 。例如 ， 要求首先从104中反复减去40 ， 直到余数(24)小于40，即从40中反复减去24得到余数16 ， 即从24中反复减去16得到余数8，即最后停止，因为8能被16整除 。于是我们发现这个过程也可以用图形来解释:例如，如果图形是边长为40和104的矩形，finding就等价于这个 。
所以我们可以做出如下图:
最后得到两个边长为8的正方形，这个正方形必须是能填满整个矩形的最大的一个，也就是 。
欧几里得在《几何原本》中对相的轮流划分的讨论 ， 总是可以推广到对无理数和不可公度量的分析(也是用几何作图的方法) ， 很有意思 。之后再写文章讨论 。
在现代数学语言中，相位划分可以描述为

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