文章插图
（1）A^2=A ， 即是A^2-A=0 ， 即A(A-E)=0 ， 所以R(A)+(A-E)小于或等于n ， 又因为A+(E-A)=E ， 所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n ， 于是R(A)+(A-E)＝n 。
（2）由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解 ， 类似地可以知道 ， A的每一列也都是(A-E)x=0的解 。
（3）A的特征值只能是1或0 。证明如下：设λ是A的任意一特征值 ， α是其应对的特征向量 ， 则有Aα=λα ， 于是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0 ， 因为α不是零向量 ， 于是只能有λ^2-λ＝0 ， 所以λ＝1或λ=0
【矩阵a的平方怎么算】（4）矩阵A一定可以对角化 。因为A-E的每一非零列都是Ax=0的解 ， 所以A-E的每一个非零列都是λ＝0的特征向量 ， 同理A的每一个非零列都是λ＝1的特征向量 ， 再由R(A)+(A-E)＝n可知矩阵A有n个线性无关的特征向量 ， 所以A可以对角化 。
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