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根号3等于多少怎么算 根号2等于多少计算过程( 二 )

睿知经验知识


巴比伦法看上去非常有效 ， 不过善于思考的读者朋友们或许已经开始犯嘀咕 ， “凭什么这样算出来的就是根号2呢？”
问得好 。要回答这个问题 ， 需要用到相当深刻的数学原理 。以下我们长话短说 ， 尽量用人话来解释 。
巴比伦法的递推公式是
；倘若我们令
并代入 ， 那么
化简得
毫无疑问
的一个解 。
我们得到了
 ， 而这不是一个巧合 。事实上 ， 
是递推式
的一个不动点 。
换句话说 ， 如果
, 那么
 ， 保持“原地不动” ， 故名为“不动点” 。
根据巴拿赫不动点定理 ， 由于此递推公式在
区间内为一压缩映射 ， 数列{a_n}将收敛于该区间内的不动点
。这就是巴比伦法能不断逼近根号2精确值的原因 。
（注：篇幅所限 ， 省略巴拿赫不动点定理的具体描述、压缩映射的定义、递推公式为压缩映射的推导过程） 。
巴比伦法其实是牛顿法的一个特例 。在实际求解形如f(x)=0的方程的过程中 ， 我们并不总有简单的 *** 直接求出x的精确数值 ， 而需要近似地求x的数值解 。
牛顿法就是最常用求数值解的 *** 之一 ， 其递推公式如下：
其中 ， 
表示函数f在x_n处的导数 。
牛顿法的本质是不断求函数f(x)在x_n处的切线与x轴的交点 ， 以达到逼近正解的目的 。下面这张动图形象地解释了牛顿法的原理 。
对于求解根号2这个特例 ， 其实我们求的是
这个方程的正数解 。那么我们可以记

根号3等于多少怎么算 根号2等于多少计算过程

文章插图
代入牛顿法的一般递推公式 ， 可得
这还原了巴比伦法的递推公式 。
虽然小学生都知道根号2约等于1.414 ， 但推导过程其实已经超出了中学数学的范围——不仅是中国中学数学课本 ， 也包括全世界的数学课本 。
无论是牛顿法还是巴拿赫不动点定理 ， 都只有在大学的数学课中才会涉及到 。因此 ， 中国学生不了解根号2的推导原理 ， 而英国学生、美国学生、法国学生也不了解 。这是一件非常正常的事 ， 并不能说明“亚洲人的数学能力其实很差” 。
本文的目的 ， 则是让更多的读者了解 ， 
【根号3等于多少怎么算 根号2等于多少计算过程】究竟是怎么来的 。希望各位读者阅读本文后有所收获 。

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