如何理解无理数？ _经验知识

欢迎关注：“黔中初数张文松”！
我是一名初中数学老师。无理数是初中数学中的一个概念。我来回答这个问题。
我将从以下几个方面回答这个问题：
1.无理数是怎样被发现的？
2.什么是无理数？
3.怎样证明无理数不同于有理数？
4.什么样的数是无理数？

文章插图
一、无理数的产生
据说。古希腊的毕达哥拉斯学派的一个青年叫希帕苏斯（公元前4世纪左右）。首先发现了正方形的对角线之比不能用整数之比表示。即根号2不是分数。毕达哥拉斯学派的基本观点是“万物皆数” 。即万事万物都可以用正整数或正整数之比来表示。由于希帕苏斯的发现与学派的“真理”相抵触。因而。引起学派内部的恐慌。于是希帕苏斯被这个学派的其他成员抛入大海中淹死了。这就是数学史上的“第一次数学危机” 。

文章插图
很快。人们还认识了许多不能用分数表示的数。如根号3 。三角函数表、对数表中的许多数。这类数叫人难以理解。但它又真实的存在着。于是就叫它为“无理数” 。无理数是地地道道的数呢?还是某种神秘之物。数学卷为此争论了两千多年之久。
到16世纪。即第一个无理数根号2产生了两千年之后。大多数人才承认无理数也是数。19世纪。实数理论建立后。人们才从逻辑上把无理数说清楚。根号2之谜才得以解开。第一次数学危机过去了。
二、何为无理数
无限不循环小数叫无理数。而有理数是有限小数或无限循环小数。分数与有限小数或无限循环小数可以互化。可以说分数就是有理数。所以。无理数不是分数。
三、证明无理数不是有理数

文章插图
四、什么是无理数
1.首先。无理数是一种真实存在的数。不能简单的理解为是无限个有理数的组成。因为无限个无理数不一定组合成无理数。
2.学了无理数后。常常需要我们去判断一个数是否是无理数。而判断一个数是否是无理数从定义去判断是很困难的。比如有同学误认为22/7是无理数。分析原因。是因为学生将其化为小数时。用22除以7 。计算到小数点的第五位、第六位时。发现总除不尽。且又不循环。（而实际上它的循环节较长。有六位。要到第七位才开始循环）。所以。就妄下结论。
3.怎么判断一个数是不是无理数呢？
从以下三个方面判断。或者说无理数有以下三种表现形式：
(1)带根号且开方开不尽的数；
(2)结果含有特殊常数(比如π)的数；
【如何理解无理数？】(3)特殊结构的数。比如：3.2020020002....(相邻的两个2之间依次多一个0) 。

文章插图
以上回答当否。欢迎大家批评指正！
其他观点：
现在好多教材都讲道“无限不循环小数即为无理数”这固然是正确的。但从便于理解的角度讲。还是把无理数说成是非比例数比较好。与之对应的就是有理数（比例数）。
这样一来符合数学史。二来也可以无形中解决好多困惑。这样就不必为判断一个比较大的分数化成小数之后循环节在哪里而发愁了。分数显然是有理数。
如何判断一个数是有理数还是无理数。把握以下几点就可以了。
1、开方开不尽的数。
2、特殊常数。如圆周率π 。自然对数底e 。
3、明显有规律但确实无限不循环的数比如0.101001000100001..........
如何证明一个数是有理数
通常的思路是反证法。请思考一个问题如何证明根号2＋根号3是无理数。
更深入的理解
那就是无理数填补了有理数的“空隙” 。
其他观点：
一个无理数是数轴上真实存在并且固定的点。但是无法表示为两个整数的比值。也无法用有限的小数表示。
所谓的无限不循环小数。其实就是一组有限小数组成的基本列。例如 π＝{3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...} 。这个基本列的极限就是一个无理数。但是由于有理数集不完备。所以这个极限不在有理数集内。
与之相比是无限循环小数。例如 1＝{0, 0.9, 0.99, 0.999, ...} 。它也是一个基本列。不过幸运的是。它的极限落在了有理数集内。
我们可以用有限代数式精确的表示一些无理数。例如 √2、3√7、(√5-1)/2 。但不是所有的无理数都可以用有限的代数式表示。例如：e＝lim_{n→∞} (1＋1/n)^n＝1＋1/1！＋2/2！＋3/3！＋... 、π＝4(1-1/3＋1/5－1/7＋...) 。这些无理数称为超越数。