圆周率π有没有可能根本不是无理数？ _经验知识

根本没有可能。因为π是无理数。有严格的数学证明。
最早。认为π是无理数的是古希腊的亚里士多德。他断言：圆的周长与直径不可共度！
所谓。共度。指的是：对于圆的周长 C 和直径 D 。存在某个长度为 r 的尺子。分别去测量 C 和 D。得到的测量结果。都刚好整数个 r 。于是说 r 是 C 和 D 的公共度量数。
C 和 D 可共度。就是 r 存在。这时。C = a?r 。D = b?r 。a 。b 为整数。于是 C/D = a?r/b?r = a/b 为一个有理数；C 和 D 不可共度。则 r 不存在。C/D 不能表示为 a/b。是无理数。
德国数学家约翰·海因里希·兰伯。于 1766年第一个证明了π 是无理数。他的证明方法如下：
首先。根据。麦克劳林公式。

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我们可以很方便地得到：

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于是。

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其中。

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到这里。规律已经很明显了！
我们。令 (n ≥ 2, k = k(n) = 2n -1) 。

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显然。n = 2, 3, 4 时。即。前面的 θ?, θ?, θ? 都符合上式！我们来进一步化简上式：

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单看。分子有：

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令。m = j + 1 。然后再令 j = m 。依次代入上式。得到（令。k?? = k(n+1) = 2(n+1) - 1 = 2n - 1 + 2 = k + 2）：

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再看。分母：

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令。m = i + 1 。然后再令 i = m。依次代入上式。得到：

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然后。有：

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其中。

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这样我们就得到了 tan x 的连分式：

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然后。我们证明。当 x 是有理数时。tan x 一定是无理数。这里用反证法。
若 x 是有理数。则 x = b/a。不妨设。b, a 为正整数。且 a > 1 。带入 tan x 的连分式。有：

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由于。b2 总保持不变。而 1a, 3a, 5a, 7a, ... 一直在增大。于是总存在 k = 2n - 1 使得 ka - b2 > 1 。于是：

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而 k??a > ka 于是 k??a - b2 > 1 。所以：

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于是：

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进而得到：

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不断重复。我们可得到：

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假设。tan x 是有理数。则上面的连分数都是有理数。于是。令。

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其中。A? 和 A?都是整数。并且 A? > A? > 0 。
变形上面的等式。得到。

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因为 k 。a 。b 。A?。A? 都是整数。所以令 A? = kaA? - b2A? 。则 A? 也是整数。并且有。A? > A? > A? > 0 。
不断重复上面的过程。我们会得到一个无限的严格递减正整数序列：
A? > A? > A? > A? > A? > ... > 0
可是。不管 A? 有多大。小于 A? 大于 0 的正整数总是有限的。不可能存在一个上面的无限序列。矛盾！故。假设不成了。这样我们就证明了：